122 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anthmetica. 



III ili 11. Comme cette equation renferme deux quanlites connues fetQ, li^es entr'elles par Tequation 



f-\ p-l' 

 il sera utile d*introduire a leur place une seule lettre, qui puisse exprimer egalement Tune et Tautre 



quantit^, ainsi soit TITi^^^'*» | = ^^- 



D'ou nous tirons pour les valeurs de /* et q cette expression 



Or, comme fest plus petit que (>, nous prendrons 



f=n — V{nn — 2n — 1), Q = n-^y{nn — 2n — 1), 

 et de l^ nous tirerons 



f^Q = 2n, Q — f=2y{nn — 2n — 1) et enfin fQ = 2n-i~i, 



Soit ensuite y{nn — 2w — 1) = ^:, de sorte que f=n — k, Q = n-^k, q — f=2k. A present 

 il n'est pas difficile d'eliminer de notre equation les deux lettres f ei q. 



12. Cela pose, commencons par le premier membre de notre equation, et comme 



et que f-i-Q = 2n et fQ — 1=2», le premier membre prendra cette forme 8/in (zr-+- 1)^ et 

 r^quation a resoudre sera nn{zz-t-iy=z±zPdtQ. Prenons maintenant en consideration les valeurs 

 tle P et Q, savoir 



p^fgZ*^{fg-^i){Q--f)z'-^QfQZZ-{fQ-^i){Q-.f)z-^fQ, 

 Q = fQz'--{fQ-^i){Q--f)z'^&fQZZ-^{fQ-^i){Q^f)z-^fQ; 



comme /"(> = 2/i -+- 1 , q — f= 2k, ces valeurs deviendront 



P = (2/1 -f- 1) z*-+- k{n-^i) kz^— 6 (2/1 -I- l) zz — 4 (/i-i- 1) /cz -4- 2/n- 1 , 

 Q =F (2/1 -♦- 1) z* — ^ (/i -H 1) /cz'— 6 (2/1 -I- 1) zz -I- 4 (/i -I- 1) /cz -t- 2/1 -4- 1. 



13. Pour decouvrir maintenant les valeurs de z dans notre equation, il faudra consid^rer avec 

 soin les signes -4- et — que doivent avoir les lettres P et Q. Remarquons premi^rement que 

 lorsque z^ q, l'une et Tautre expression {k) sont positives; donc on les prendra avec le signe -*-. 

 Mais si z est plus petit que /*, alors P devient negatif et Q aussi, et par consequent il faudra leur 

 donner le signe — . Enfin, si z se trouve entre f et q, la lettre P sera positive et Q negative. 

 D'apr6s ces considerations on voit que, selon que z est plus grand que q, ou plus petit que /*, 

 ou enfin contenu entre q et f, on aura trois cas a developper, nomm^ment les suivants. 



'i'jnih(\ Preinier eas. 



if* !U|v \ «-Kimon Recherche des valeurs de z plus grandes que q. 



i 



Wk Comme les deux lettres P et Q ont le signe -h-, nous aurons 



P -H iQ = 2 (2/1 -4- 1) z*— 12 (2/1 -H 1) zz -H 2 (2/1 -»- 1), 

 et notre ^quation d^velopp^e a resoudre sera 



nn (z*-4- 2zz -h- i) = 2 {2n -*- 1) (z*— 6zz -h i). 



