Problema Diophanteum. 1^3 



ou, lorsqne nn >► 2 (2nH- 1 ) , le premler membre surpassera toujours le second, et par consiquent 

 toutes les valeurs de z, depuis (> jusqu'^ rinOni, repondront a notre but, et nous aurons toujours 

 pp -+- 7^ > rr. Cela arrive lorsque /i>2-4-V'6. Or, dans le cas de /i = 2-1-1/6, on aura 



^=V(/i/i— 2/1— i)=y(5-i-2y6) = y3-t-y2, Q^n-i-k=^(Vd^y2)(y2-*-i), 



/»= /i — ft = (y3 -+- y2) (-/2 — 1). 



Donc cela aura iieu quand 'iijn?.nj*] 



(>>(y3-Hy2)(y2-i-i), f<(y3-f-y2)(y2— i). 



ou bien, en reduisant en fractions decimales, lorsque ()>7,59575M et /*< 1,303225^. Ainsi, 

 toutes Ics fois que /*< 1,303225'», ou () > 7,59575^1, la quantitc z peut etre plus graode que q 

 jusqu'a rinfini. 



15. Passons maintenant au cas, ou /i/i< 2 (2/i-4- 1), ce qui arrive lorsque n < a-#- yfi, ou 

 lorsque /*>(y3-+-y2) (^2 — 1) et, au contraire, ()<(3 -f-y2)(y2-f-l). Si nous retranchbus 

 dans notre equation le premier membre du second, nous aurons 



(kn H- 2 — nn) z* — (2kn -+- 12 -i- 2nn) zz ~t- kn -\- 2 — 2nn, 



nti-*- 12n-i-6 

 An-t-^i — nn 



Soit, pour abreger, ^ ^ — —^y il viendra, apres avoir divise par 4/i-t-2 — /i/i, 



z*— 2z/z2:-+- 1 =-0. 

 En resolvant cette equation, on a zz = z/ zt y(z/* — 1), ou enfin z = ± ^(— ?- ) — y( T \ 



Or, de ces quatre racines de lequation z* — 2Jzz-^\ =0, la plus grande V\—^) -*- y(-^— ) 

 est la seuie qui surpasse 1, et de la nous concluons que toutes les valeurs, depuis q jusqua ce 

 terme, fourniront des valeurs convenables pour z. 



16. Supposons f=-a 6t par consequent () = 5; nous aurons /i=— » ^ ^^ g^* 



^=12,52112 et ^=6,76056, ^=5,76056, enfin /(^) = 2,60 , /(^^) = 2,it0, 

 et de la z = 5 , c'est-a-dire z ne saurait surpasser q que d'une fraction extremement petite. 



Second cas* ^ 



/ ■' -; : —'. ••■■ rr/-- -''■"^ 



Recherche des valeurs de z qui se trouvent au dessous de f. 



17. Ici P et 12 sont neg^atits, et notre equation a resoudre sera 



/i/i(iz-*-l)^=-P'--(2=-2(2/i-+-l)z*-f-12(2/iH-l)zz-2(2/i-+-l) = -2(2«^^^^^^^^ 



laquelle peut etre reduite a la precedente, en faisant z = ——h car alors on aura k\ »ib" ,«^ = *c.5> 



nn(vv-i-\y:=z2(2n-^{)(v'^^vv-^i). ' " •'" ""i«- '-'•'{ 



Observons ici que les deux lettres f et z dependent lune de lautre de la meme maniere que f et (>, 



•t» 

 de sorte qu'on aura semblablemcnt vz = v-\-z-\-\. 



18. Ainsi nous aurons ici, de meme qu'auparavant, les valeurs convenables de v entre les 

 limites de q et cx), lorsque (»> ^^S^S^SM , ou /*< 1,3032254^, et par consequent z=^-—- pourra 

 etre pris entre les limites de /* et 1. '-^^ '*"*** "' "• 



