m L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anthmeuca. 



}«jvM 19. Pour abr^ger, mettons au lieu des nombres rapportes 7,5d575ki et 1,303225^ siraplement 

 ceux-ci: 7,5 et 1,3. D'apr6s cela, on arrivera a cette conclusion importante: toutes les fois que q 

 se trouve entre les limites 7,5 et cxd, ou bien f entre i,3 et 1, on pourra toujours prendre le nombre 

 z, ou entre les limites (> et oo, ou entre celles de /* et 1. 



20. Examinons a pr^sent le cas ou ()<7,5, ou /*> 1,3, et commencons par le cas de 

 (>=/*= 1 -4-1/2. Puisque /*=(>, on aura /c=0 et /i/i — 2/i — 1 = 0, ou /i/i=2/i-t-l, par consequent 



. nn-*-6(2n-#-l) 7nn » . r» 



. .^ ^ = o75 — T^ = — =7, , et enfin 



iiaijA 2(2n-4-l)-nn nn nomB"» 



o nip j, ^ i/^I:^^_^ -/^7-*^== 2 -t-y3 = 3,7320508, z = ^ = y3 = 1,7320508. 



Pour simplifier, nous remplacerons les nombres 3,7320508 et 1,7320508 par 3,73 et 1,73, etnoustire- 

 rons cette conclusion: dans le cas, ou /*=(>= l-4-"|/2, on pourra toujours prendre z, ou entre les 

 limites q et 3,73, ou entre celles de /* et 1,73. II ne sagit plus^iue de rechercher les cas ou q se 

 trouve dans les limites 7,5 et 1 -i-l/2, ou f entre celles de 1,3 et 1 -hV^. 



21. Le cas traite precedemment par la supposition de /*= ^ et q = 5, nous donne c=5, 

 d'ou il suit que z=-— — =^> c'est-a-dire que, dans ce cas, z ne pourra differer de /* que d'une 

 fraction extremement petite. II suit de la que lorsque Ton diminue q au dessous de 7,5 vers le 

 tej^me 5 , la valeur de z diminuera de plus en plus jusqua devenir sensiblement egale a f. 



Troisieme cas. 



Recherche des valeurs de z qui se trouvent entre q et f. 



22. Dans ce cas, la valeur de P sera positive et celle de Q negative, et requation a rdsoudre 

 sera /i/i (zz -+- 1)*= P — Q, ou nn (zz -t- 1)^= 8 (/in- 1) /c (z' — z). Supposons ici 



8A:(n-t-l) ,f, 2*(n-i-l) q. 



— ^^^ — —^ = kO-, ou — ^ — — ^ = «9-; 



nn nn . 



nous aurons cette equation bicarree z* — 4^i9^z' h- 2zz -*- ^j^z -i- 1 = , laquelle pourra etre resolue 

 sans qu*on ait recours au cube. 



23. Supposons z* — k&z*-*- 2zz -+- k&z -t- 1 = (zz — az — 1) (zz — ,<5z — 1); le produit des 

 facteurs du second membre est z*-- (a-i- /3) z^-i- (a/3 — 2)zz-*-(«-i-^)z-i-l, lequel etant compare 

 avec le premier membre, nous donne ces deux conditions a-\-/3=k&, a^ — 2 = 2, ou bien 

 «^ = 4. , de la a — /? = y((w -h /3)'*— 4a/3) = KV^&d- — I ) , ce qui prouve rimpossibilit^ de 

 ^requation /i/i (z*-i- 2zz -4- 1) = 8 (/i-i- 1) /c (z'— z) dans le cas ou .9^<1. Donc, pour .9^<1, on 

 aura toujours /i/i (z*-i-2zz-i- 1) > 8 (/1-4- 1) /c (z' — z), et par consequent toutes les valeurs de z 

 dcpuis /*jusqua q verifieront la condition mentionnee (8). 



24-. Pour trouver Ics valeurs de n qui rendent ^<1, nous prendrons rexpression de i^ qui est 



2*(n-i-l) , 



;„j 5 ou k = y{nn — 2/i — 1). Ainsi, pour la determination de ces valeurs de n, nous 

 aurons cette condition 



