Prohlema Diopkanteum. J 125 



-^ )^ '- < 1 , ou bien n* ^ L-Tin — '| n — ^ < 0, ♦" * '^' 



qiii se rcdult k l*in(igalit6 i* < -3 (2n h- 1 )* ; de laquelle nous tirons 



'.'^'-^^^-H^, ete«fi„ «< ^-y^'^> =l-K-y3 = 2,7320508. 



II suit de la que, tant que n est plus petit que 2,7320508, «9^ sera plus petit que 1, et toiites tes 

 valeurs de z depuis /*jusqua q satisferont a nolrc but. 



25. Passons maintenant au cas ou i^>» 1; alors, apr6s avoir trouve 

 a-+-^ = ki9 et a—j3 = ky{&&—i), nous aurons a = 2^H-2l/(»^.9-— 1), ^=2d-—2y{&d-—i); 

 ainsi les deux facteurs de notre bicarre seront offitnoa i>iinV\ :\*i: 



zz — 2(0--i-~y{&d-—i))z — i et zz — 2{& — y{i9-&—i))z-'i, 

 qui etant egales a 0, donneront les quatre racines de notre equation: ^ v 



,9- -H y (,^^ — ! ) -t- y[2& (»9- H- y{&d- — i ))] , 

 & -^y(d-d- — i) —yi2d-{d- -^y{&& — i))], 

 & — y(,%9- — 1) -+- yi2& (& — y{&& — d)], 

 ,9- — y(d-& — 1 ) — . y [2^ («^ — y{&& — 1 ))]. 



Mais il n'est pas difficile de remarquer que 



* ± VO?^ - 1) = (/(f^) ± l/(*-=i)y ; 



donc les expressions trouvees pour les racines de notre equation se reduisent aux suivantes: 



d-.^y(d-&—i)-^y(d-{d--^-i))^y(d-{d-—i)), t •-' 

 d--^y(d-d- — i)--y(&{&-^i))—y(&{&-.i)), ' — 

 ^_y(^^_l)_^y(^(^_^,))__y(^(,^_,)), ^. ^^^^^^^ ^^^^^^ 



&--y(&d---i) — y (&{&.+- i))-t~y(&{&-^i)). 



De ces quatre racincs nous n'aurons a considerer que deux 



db 8iudk7 <t'»b 89iim)l 



6>--*-y(,^^~i)-+-y(^(^~i-i))-f-y(,9-(^ — i)), ^ 

 ^__y(^,9-— i)-t-y(,^(^-4-i))— y(^(^ — i)), 



car lcs deux autres sont plus petites que 1. D apres ces VSileurs de z, qiii 'rtndent 



nn(zz-+-l)*— 8(n-i-l)/t(z»— z) = 0, '"^^' "^ 



il n'est pas difQcile d'assigner les limites des valeurs de z qui verifient la condition 



nn(3z-i- l)*>8(n-i-i)A:(z*— z). v> 



Pour cela, nous remarquons que la plus grande valeur de z, qui rend j I 



nn {zz H- 1)^— 8 (n -H 1) /c (z'— z) = 0, est & -i- y(&& — 1) -h y(& {& -*-.()) r#- Y »^ {& — I)) ; 

 donc toutes les valeurs qui surpassent cette limite donnent 



nn(zz-i-i)^— 8(n-f-l)/c(z'— z)>0 0,d 



et par consequeut remplisscnt la condition nn(zz-i- !)*> 8 (n-i- 1) /c (z^— z). Toutcs les valeurs 

 de z qui sont au-dessous de «9^ -*- y (»9^«9^ — 1) -f-y(»9^(»9^-+- 1)) -i-y(i9^(j9^ — I)), et qui ne sont pas 

 inferieures a lautre racine de Tequation nn (zz -1- 1)^ — 8 (n -t- i) k (z* — z) = 0, 



