Prohlema Diophanteum. 129 



Invenire tres numeros v, x, y, quorum hinorum productum^ summa eorundem auctum^ 



producat numerum quadratum, ita ut hae tres formulae vx-+-v-hx, vy-i-v-*-y, xy-HX-i-y 



quadrata reddi deheant, 



Deinde vero candem quaestioucm ad quatuor hujusmodi numeros extendam, quandoquidem tum 



maximac difficultatcs occurrunt, dum haec quaestio, uti est proposita, generaliter resolvi potest, ac 



solutio tantum in numeris integris certa artificia postulat. 



5. Ad hoc problema resolvendum, ponamus v-i- i = J, x-\-i=B et yH-l = C ut 

 sequentes tres formulae AB — 1 , AC — 1 et BC — 1 quadrata fieri debeant. Statuamus igitur 

 primo AB=pp-\-i, AC = qq-\-i et BC = rr-\-i, eritque ABC = y{pp-\-i){qq-\-i){rr-\-i), 

 Quo jam haec formula facilius rationalis efficiatur, litteras p et ^ ut datas spectemus, ponamusque 

 {pp -\- 1) {qq -+-!) = mm -\- nn, ut sit m = pq±i, et n = p^qy fietque 



ABC = y{mm n- nn) {rr h- I ) = l/((/wr -h n)*H- [nr — mf) , 



quae radix statuatur = mr -\- n -\- t {nr — m ) , ut prodeat nr — m = 2mrt -\-2nt-\- nrtt — mtt, 



m (« — 1) — 2nf 



hincque r = 



n(tt — l)-i-2mt 



2 



/» r. .. j (ntm-t-n»)(tt-t-l)* .„„ (mm-f-nn)(tt-Hl) , , _^ . 



6. Ent ergo rr-4-l=7— — ., ^ A et ABC = —r- — ., ^ / ' ^nde ob BC=rr-+-i^ 



o (n(tt— l)-t-2m<)'* n{tt — l)-»-2mt * 



reperitur 



^ __ n( — )-4- m ^ ^^ ^j^ ^^ _j_ ^^ _ ^pp _j_ I ) (g^ _,_ I) ^ 



^ _ (ppH-l)(tt-4- l) 



n(tt— l)H-2m< 

 r (??-Hl)(tt-»-l) 



et 



.1-0 



n(tt— l)-t-2mt' 



existente m=pq± i et n=pzfLq. 



7. En ergo solutionem maxime generalem nostri problematis, in qua adeo binos numeros p 

 et q pro lubitu accipere licet, ita ut binae formulae AB — 1 et AC — 1 datis quadratis aequentur; 

 et cum littera t etiamnunc arbitrio nostro permittatur, pro tertia formula BC — 1 infinita quadrata 

 reperiri possunt, unde hoc problema sine ullo dubio ad primam partem, ubi solutiones generales 

 exhibere licet, erit referendum. Verum cum hoc modo terni numeri quaesiti plerumque prodeant 

 fracti, si solutiones in integris desiderentur, alia artificia in hunc finem adhiberi conveniet, qaae 

 hic exposuisse juvabit. 



Solutio ppoblematis per numeros integros. 



8. Quoniam numeros p et q ut datos spectamus, solutio ita facilius obtinetur. Posito 



AB=pp-\-i et AC = qq-\-i, ut sit B = ^^^ et C=^^* 

 erit statim BC-i= (^^-^-^Xg^-*-*) _ , = mm-^---^ ^ 



AA AA 



quae forma cum esse debeat quadratum, sumatur A = n = p — 9, seu p = q -\- A, fietque 



B=A-\r-2q-\-'-^ et 6'=?q:i, 



A A 



unde numeros ^ et 9 ita accipi conveniet, ut A sit divisor ipsius qq-¥-i. Quare necesse cst pro 



L. Eoleri Op. posthama. T. I. |7 



k 



