mo 



L. EULERI OPERA POSTHUMA. 



Artthmetica. 



A capi summam duorum quaclratorum , ac tum semper pro q infinitos valores assignare licebit, ut 

 gg-4-1 divisionem per A admittat, veluti ex sequentibus exemplis patebit: 



i) Sit ^=1 et g = ii, erunt tres numeri quaesiti A=i, B = uu-+-2u-+-2 et C= uu-+-i, 

 itmt 2) Sit y^ = 2, sumique oportet q = 2u — 1, unde prodeunt numeri quaesiti: 

 9t ^imSi A = 2, B = 2uu-+2u-^i, C=2uu — 2u-i-i. 



3) Sit >^ = 5 , sumique oportet g = 5« ± 2 , unde duae resultant solutiones 

 ' A=^y 5 = Sritt -H 1^1« -H 10, C= 5mw-i- 4m-h 1 



' A = ^y B = ^uu-v- 6m-4- 2, C=5uu — ku-h-i; 



sicque binis A et C duplex valor ipsius B respondet, scilicet 



A=5y C = 5uu -+ ku -t- i , B=5uu-t-iku-t-iO *>^ ^* 



vel B = 5uu — 6m -H 2. 



4) Sit A = ff+-gg et k minimus numerus, cujus quadratum unitate auctum per A sit divisibile, 

 iit sit ~*~ = h. Jam ponatur q = (j^-i- gg) u-t-k^ eruntque tres numeri quaesiti 



A = ff-i-gg, C={ff-+gg)uu-+2ku-t-h et B= (ff-t-gg)uu-^2{ff-i-gg-i-k)u-\-ff-h-gg-h-2k-+h, 

 ubi observo, si ambo numeri ^ et w capiantur negative, ut valor ipsius C maneat idem, tum pro B 

 alium insuper prodire valorem 



B = {ff-\-gg)uu-^2{jf-+gg — k)u^ff-+gg—2k-^h. 



9. Alio autem modo prorsus singulari solutiones in integris facile inveniri possunt, qui 

 ita procedit: Capiantur binae fractiones y et -^ tam parum a se invicem discrepantes , ut sit 

 ad — 6c = =*= 1 ; inde formetur tertia '—^» quae ad utramque priorum simili modo erit comparata. 

 Quo facto tres numeri quaesiti ita se habebunt: 



A = aa-\-hhy B = cc~\-dd, C= {cdza)^-+ {d 

 namque ob ad — 6c = ± 1 , erit AB = {ac -\- bd)"^-*- i , 



AC= {ac ztzaa-\-bd±: hbf-+- 1 , 

 BC={cc-±zaC'+-dd±bdf-+-i. 



10. Hinc simpliciores solutiones obtinentur sequentes: 



B 



h)\ 



i 



2 



5 



5 



10 



10 



ff-^i 



2ff—2f-^i 

 5ff-4/*-Hl 



lO^— 6/*-Hl 

 iO/f— 6/"-f-l 



ff 

 2ff. 



5ff- 



2f- 

 6/-- 



5ff^ikf^iO 

 IO/f-h-U/*-i- 5 

 lOff— 26/*-Hl7 



unde palet has soluliones convenirc cum praecedentibus. 



