Problema Diopkanteum. 131 



li. Dalis aiitcm duobus numeris j4 et fi, ut sit /4B — 1 = Q =pp, tertius C infinitis modis 

 invcniri potest sequenti modo: Cum tam j4C — 1 quam BC — I quadratum esse debeat, statuatur 

 primo productum ABCC — {A -¥- B)C-k-\ = (mC-4- 1)*, unde reperitur 



^^^^ undeat ^C-l=i^ et BC-i=*4i^. 



AB — mm AB — mm AB — mm 



Tantum ergo superest ut AB — mm =pp -\- i — mm reddatur quadratum puta = nn , seu ut sit 

 mm ~i- nti = pp -t- i , Hunc in fincm sumantur duae fractioncs a et a, ut sit aa-^aa= iy Oatque 

 m = ap-i-u et n = ap — a, ex quo habebitur 



„ A-t-Bz*z^(ap-t-a) 



^ ~~ {ap-a)^~~' ' 



ubi sumlis pro lubitu duobus numeris f et g^ capi oportet 



a = i=^ et a=^- 



i 2. Hinc adeo plures valores pro C in integris inveniri possunt ; sumto enim f= i et ^r = 0, 

 prodit C=^ A-\-B±2p. Deinde posito f=2p etg=iy prodit 



C={A-^B) {kpp -H if± 2p {kpp -h- 1) {hpp H- 3). 

 Tum vero etiam sumendo f= kpp -*-i et g = 2p, iit 



C={A-^B) (16/)* -t- 12/)/) -f- 1)»H= 2/) (16/)*-i- 12/)/) -t- 1) (16/)*-*- 20pp -t- 5). 



Porro, positio f= Sp*-+- kp et g = kpp -t- 1 dat quoque duos novos valores integros. Ex quo intei- 

 ligere licet, in genere formam tertii numeri C fore 



C=(^-+-^)M»=b2/)MiV, 



ubi quantitates M et N has series recurrentes constituunt: 



A/=-i-l, hpp-\-i, 16/)*-i-12/)p-*-l, 6V-*- 80/)*-*-2^/)/)-i-l, etc, 

 iV=-Hl, 4/)/)-*-3, 16/)*h-20/)/)-h5, 64/)«-f-112p*-4- 56/)/)-^- 7, etc, 



quarum utriusque scala relationis est kpp -h 2 , — 1 , ita ut in genere sit 



^ _ <y[\-t.pp)-t^p)^^^^{y{i^pp)-p)^^^ ^^ ^ _ (T/(i-Hpp)H-p)'-^*-(y(i-«-i)p) -p)»^» ^ 



^■/(l-t-pp) 2p 



Vel posito 2p = q, et denotante n numerum parem quemcunque erit 



lu n (n-1) «—2 (n — 2)(n — 3) „_. (n-3)(n — 4)(n— 5) „_« 



^f = g"-*-^— 7— g" ^-^- ^ ^g" *-t-^^ '\ ^ -' ^o" *-l-etc 



K n ("-^-1) /1 — 2 (n-t-l)(n — 2) „_4 (n-<-l)(n — 3)(n — 4) „_. 



JV = q"-t- ^ ■ ' q" *-H^ Ai ^«" *-4-^^ ^\ ^ J^^ ^g" *-*-etc 



1 lij 1.2.«} ' 



13. Ppoblema ft, Invenire quatuor numeroSy ut hinorum productum una cum summa eorun~ 

 dem binorum faciat quadratum; seu, quod eodem redity invenire quatuor numeros A, B, 

 C, D, ut binorum producta, unitate minutay sint quadrata, sicque hae sex formulae 



AB— 1, AC — 1, AD— 1, BC — 1, BD — 1, CD— 1 

 fiant quadrata. 



Pro solutione hujus problematis spectemus duos numeros A et B tanqnam datos, ut sit 



AB — 1 =/)/) , seu AB=z.pp -*- 1 , 



