132 L. EULERl OPERA POSTHUMA. Arithmetka. 



ac sumto aa-h-aa = 1 , statuatur tertius numerus C = r^ — *■ Simili modo sumto 



{ap — a) 



55 _j_ ^j3 = 1 , ponatur quartus numerus D — _ ^ — —^ sicque jam erit satistactum ms 



conditionibus 



^jb— i==n. ^c— i = n, fic— i=:n, ^d— i = n, 5i>— i = n, 



ita ut tantum restet sexta conditio implenda, qua esse debet CD — l = n, fl^ae propterea dat 



(^ H- J?)^-4- 2 (^ -H J5) ( (a -4- 6) p -H « -H ,5) -4- ^ (ap H- «) (6p -t- ^) — («jo — a)^(/5/) ~ 6)* == n , 

 cui ita satisfieri oportet, ut simul fiat AB=:pp-\-i. 



ii. Praeter a, a, 6, /? spectetur etiam p ut datum, et cum sit 



A A 



quadratum effici debebit haec forma: 



A'-^ 2A\a -^h)p-^ 2^' {pp -I- 1) -I- 2^ (jop -f- 1) (a -I- 6) H- {pp -i- 1)* 



-i-2^^(a-i- /?) -^hA''{ap-^a){hp-\-i3)-+-2A{pp-^i){a-\-i3) 

 ^A^{ap^af{l3p-^h)\ 



cujus radix statuatur 



AA -\- A{a-¥-h)p — pp — i t i,^ 



-1- ^ (« -f- /5) , 

 unde nascetur haec aequatio 



AA {a-\-h)^pp 



-+- dAA {a -H 6) (a -*-/?) p 



-\- AA{a-\-^)^ ^ ^ 



-UA{pp-\-i) )=U{pp-\~\){{a-^h)p-^a-\-^), 



— kAA {ap -t- a) {hp -h- /3) 

 -+- AA{ap-^ay{,3p—by 

 ex qua elicitur 



A=z 



4 (pp -+- 1) ((o -H 6) p -»- a -H /3) 



((a-*-6)p-t-«-H/3)* — 4(pj)-^- 1) — 4(ap-*-a)(6p-t-/3)H-(ap — a)* (/3p - 6)' 



15. Quanquam haec solutio neutiquam est generalis, siquidem ex formula quarti ordinis est 

 derivata, tamen quoniam numeros a, a, 6, /5 cum p pro arbitrio assumere licet, dum sit 



aa -f- «« = 1 et hh-\- /?/? = 1 , 

 innumerabiles suppeditat solutiones, circa quas nil aliud desiderari videtur, nisi quod numeri pro- 

 deant non solum fracti sed etiam praemagni, ac subinde etiam negativi. Simpliciores autem solu- 

 tioncs ex casu quo « = 0, ^ = Oeta=l, 6 = — 1 obtinebuntur, ubi fit C=A-\-B-\-2p et 

 D = A-+-B — 2/), existente AB = pp-\- i; tum igitur erit CD— i ={A-\- Bf — kpp — i = Q. 

 Quare si statuatur {A -t- BY=qq-\-kpp-\- i, erit {A—Bf=qq — 3, ex quo fiat A — B = q — r, 

 ut prodeat q = — ^ et A —- B = —^ . Jam invento q sit A-\- B = 2p-\-Sy fietque 



