134 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arttkmetica. 



Cum autcm hae solutiones omnes in numeris fractis consistant praeter simplicissimam , quae est 



quaestio oritur satis curiosa, num praeterea non aliae solutiones in numcris integris rcperiri queant? 



18. Probiema 3. Invenire qualuor numeroSy ut hinorum productum dato numero n auctum 

 sit numerus quadratus. 



Sint Jy Bj C, D quatuor numeri quaesiti, et cum AB-\-n esse debeat quadratum, ponatur 

 A=naa — 66 et B=ncc — dd, ut fiat AB={nac — bdy — n{ad — 6c)'*, quare dum sit ad — 6c==tl, 

 haec conditio adimpletur. Quare ejusmodi fractioncs y et — investigare oportct, ut sit ad — 6c=±l, 



quod cum facile praestetur, idem eveniet in fractionibus - — - et t^> cum utraque illarum con- 

 junctis. Statuamus ergo 



A = naa — 66, B = ncc — dd, 



C= /i (a -*- c)*— (6 -H d)\ D = n (a — c)*— (6 — d)\ 



nihilque aliud superest nisi ut CD-i-n reddatur quadratum, hoc est 



nn{aa — cc)''' — 2n{ab — cd)^-i-{bb — ddy 



— 2n{ad—bc)'^ }=n, 



-HW 



seu ob {ad — 6c)*= 1 , 



nn {aa — cc)^ — 2n {ab — cd)"^-*- (66 — ddy 



— n 

 quae autem aequatio tantum solutionem particularem continet. 



19. Solutionem autem generalem, ut supra impetrabimus ponendo AB = pp — /i, tum quia 

 pro C esse debet tam AC-i-n=\Z\ quam BC-^n=\^, ponatur productum 



nn^n(A -*-B)C-t- ABCC = nn-i-2nCx-i-CCxXy 



XX — AB XX — AB 



unde patet '^^^ — quadratum esse debere. Statuatur ergo 



xx-^AB = xx — pp -*- n =i nyy y seu xx — nyy=pp — /i, 

 Simili modo ponamus vv — nzz = pp — n, ut obtineamus 



£^ et D = > 



yy M 



ac superest, ut reddatur quadratum 



{A -V- By — 2 ((c -f- c) {A -*- J?) -+- nyyzz -\- kxv. 



At ob B=^ et ^-4-ig = ^'*-^^"% habebitur 



A A 



