t38 L. EULERI OPERA POSTHUMA. AnVnnetica. 



Appeiidix. 



28. Adjungara hic problema prorsus singulare, o!im mihi propositum, quod vircs analyseos 

 Diophanteae omnino transeendere videtur, quandoquidem solutio ad formulam scxti gradus quadrato 

 aequandam perducit, dum adhuc oi^erationes istius analyseos non ultra quartum g^radum sunt pro- 

 motae. Prohlema autem hoc, cujus tandem unam solutionem sum adeptus, ita se habet: 



Imenire duos numeros, quorum productum ita sit comparatumy ut sive addaiur, sive 

 subtrahatur tam summa quam differentia eorum, semper prodeant numeri quadr.M. „ 



Positis erg-o numeris quaesitis — et - , requiritur ut sit 



tam xy±n{x~i~y) = quadrato 



quam xy±n {x — j") = quadrato. 

 Gum nunc sit AA -\- BBdiz^^AB quaclratum, capiatur xy ita, ut duplici modo in duo quadrata 

 rcsolvi possit. Hunc in finem posito xy = (pp -^ qq) {rr -^ ss) , erit duplici modo j<jY *)<; 



vel A = pr-\-qs et B=ps — gr, 



— - ■'■%. 

 vel A = ps-v-qr et B = pr — qs; 



quare statuatur n{x-^y) = 2 {pr -f- qs) {ps — qr) et '- ^ '"4 ^"^^^"""^ 



■^\-y. t»{x — y) = 2 {ps -I- qr) {pr — qs) , ut fiat 



Y{xy -*- 71 (cc -+- y)) = pr -i- qs -i- ps — qr 

 ■/(ay — n {x -^ y)) = pr ~i~ qs — ps -i- qr 



y{xy -h-n{x — y))—ps -t- qr-^pr — '■ qs 

 "V^xy — n {x — y)) = ps -^ qr — pr-\- qs 



29. Jam factae positiones praebent*^^^ '*^ '• 



x-*-y (pr-t~qs)(ps --qr) pprs-+-pqss — pqrr — qqrs . > p 



X — y (ps-i-qr){pr — qs) pprs — pqss-^pqrr — qqrs 



unde fit — = — _ * Ponamus erg-o x = mrs {pp ■ — qq) et y =. mpq {ss — rr) , eritque 



X 



y = m {pr -*- qs) {ps — qr) , 



ideoqu€ n= — , ut numeri quaesiti fiant 



cc 



n" 2 



n ~ 2 



= — mmrs {pp — qq) et " '<>**' 



7 



-^mmpq {ss — rr). 



Nunc ob xy = {pp -*- qq) {rr -t- ss), habebimus hanc aequationem resolvcndam 



mmpqrs {pp — qq) {ss — rr) = {pp -+- qq) {rr -\- ss) , 

 quae utique ita cst comparata, ut per nulla artificia adhuc cognita confici possit. 



30. Facile autem perspicitur id effici oportcre, ut haec fractio quadratum evadat 



pq(pp - qq) jpp-i-qq) __ —. 

 rs (ss — rr) (rr -t-ss) '—' ' 



81 



