UO L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anthmetica. 



rncJHtbi 



VIII. 



De qiiadratis iiiagieis. 



ofib ^i^ !i6Tfo7» 8OTf (Conv. acad. exhib. 177G Oct. 17.) 



>)\)mmy< loiJibno 



§ i. Quadratum magicum dici solet, cujus cellulis numeri naturales ita sunt inscripti, ut 

 summae numerorum per omnes fascias tam horizontales quam verticales, tum vero etiam per binas^ 

 diag-onales prodeant inter se aequales; ita si latera quadrati in x partes aequales dividantur, numerus 

 omnium cellularum erit xx, et singulae fasciae tam horizontales, quam verticales, quin etiam binae 



diagonales continebunt x cellulas, in quas ergo omnes numeros naturales 1, 2, 3, k xx ita 



disponi oportet, ut summae per omnes fascias memoratas evadant inter se aequales. Cum igitur 

 summa omnium horum numerorum, ab 1 usque ad xx, erit — — — > summa uniuscujusque fasciae 

 orit = -^— ^ 5 unde si fuerit x = 3, summa per sing;ulas fascias erit =15. 



§ 2. Hinc ergo in quotcunque cellulas totum quadratum fucrit divisum, summa numcrorum 

 per singulas fascias dispositorum facile assig;nari poterit, unde istas summas pro singulis hujusmodi 

 quadratis per omnes fascias assignasse juvabit * 



«(1 -t-xx) 

 X XX -^— 



i i 1 



2 4 5 



3 9 15 



4 16 ^% 



5 25 65 



6 36 111 



7 hd 175 



8 Gk 260 



9 81 360 

 etc. 



ubi X denotat numerum partium, in quas latora quadrati dividuntur, xx numerum cellularum in 

 quadrato contentarum et l^x (i -^ xx) indicat summam omnium numerorum per siugulas fascias 

 dispositorum. 



§ 3. Ut jam certam regulam investigemus , hujusmodi quadrata magica omnium ordinum con- 

 struendi, plurimum intererit observasse, omnes numeros ab 1, 2, 3, etc. usque ad xx hac formula 

 mx-t-n repraesentari posse. Si enim loco m accipiamus successive omnes valores 0, 1, 2, 3, 4 

 usque ad x — 1, tum vero pro n omnes numeros 1, 2, 3, k.....x, manifestum est hinc omnes 



