152 



L. EULERl OPERA POSTHUMA. 



ArithmeUca. 



K' 



\l 



^\ i^»0 1»» 



IX. 



\ 





Tlieorciiia aritlinicticiuii cjiisque dcnionstratio* 



Theorema, quod hic proponere ac demonstrare constitui, jam pridem per litteras cum amicis 



communicaveram , quibus id non parum elegans et omni attentione dignum est visum, praesertim 



cum ejus dcmonstratio minime sit obvia, ac fortasse a plerisque frustra iodagata. Sequenti auteni 



modo istud theorema enunciavi '. ■ "^ ■ ' 



' • ' , ' 5"^' fuerint propositi numeri quotcunque inaequales a, b, c, d, etc. et ex singuUs 



ejusmodi formentur fractiones, quarum humerator communis sit unitas, denominator vero 



cujusque productum ex omnihus differentiis ejusdem numeri a singulis reliquorum, ita ui 



hae fractiones sint: 



1 _ 



(b. 



1 1 



a)(b-c)(b-d)etc.' (c — a) (c-b)(c-d) etc' * 



(a — b) (a — c) (a — d) etc. 



tum summa omnium harum fractionum semper est nihilo aequalis. 

 Ita si, exempli gratia, propositi sint hi numeri 2, 5, 7, 8, quatuor fractiones inde formandae sunt 



-3.-5.-6 



3.-2. 



5.2.-1' 



quae ad has reducuntur 

 eritque vi theorematis 



1 



3.5.6 



90 



3.2.3 



1 



_i 



18 



5.2.1 



i 



6.3.1 



1 



6.3.1 



iO-*-i8=^- 



Ne signa neg^ationis molestiam creent, formatio harum fractionum ita praecipi potest, ut dispositis 

 numeris datis secundum ordinem magnitudinis , sive crescendo, sive decrescendo, pro quolibet ejus 

 differentiae a singulis reliquorum in se invicem ducantur, hisque pro denominatoribus sumtis, nume- 

 ratore cxistente unitate, fractionibus hinc factis signa -i- et — alternatim tribuantur. 

 Veluti si numeri propositi sint 



3, 8, 12', 15, 17, 18 

 ex sing^ulis denominatores ita colligantur 



ex 



I 



