154 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmtica. 



113400 12600 ~*~ 3240 1512 "^1260 2700 ' 



3* 8* 12* 15* 17* 18* _^ "B«I S£ 1»q 2>1: 



113400 12600 3240 1512 1260 2700 

 neque vero ad altiores potestates progredi licet, cum quilibet denominator ex quinque factoribus constet. 



aP 



Deiiioiistpatio Tlicoreinatis. 



Theorema hoc nactus sum ex consideratione huius formulae ^ — ■rrr rr ^ , ? 



'' {x — a) {x — b) {x — c) (as — d) etc. 



quam constat, dummodo exponens n sit numerus integ-er positivus, minor multitudine factorum in 

 denominatore, semper resolvi posse in hujusmodi fractiones simplices: 



A li c D ^ 



etc. , 



X — a X — b X — c X — d 



quarum denominatores sunt ipsi factores illius denominatoris, numeratores vero quantitates constantes 

 ah X non pendentes, quorum sing^ulos sequenti modo definire licet. Gum forma proposita his 

 fractionibus simplicibus sit acqualis, per x — a multiplicando habebimus 



-" j B{x — a) C{x — a) D{x — a) 



= A -\ ^— 1 — ^- — H — ^ — : — I- etc. 



{x — b){x— c) {x — d) etc. x — b x — c x — d 



quae aequalitas subsistet quicunque valor ipsi x tribuatur, quandoquidem litterae A, B^ C, Z), etc. 

 ab X non pendent. Vera ergo erit ista aequatio, si ponatur x = a, unde fit 



{a — b) {a — c) (a — d) etc. 



sicque valor ipsius ^^ innotescit, similique modo intelligitur esse 



B = . ... .,. — ^, C = 



{b — a){b~ c) {b — d) clc. (c — a){c~-b){c — d) etc. 



sicque de reliquis. Cum igitur fractionibus simplicibus ad alteram partem transponendis sit 



a^ A B C D ^ r. 



+- 1 H -- — H- etc. = , 



{x — a) {x — b) {x — c) {x — d) etc. a — x b — x c — x d — x 



hahcbimus utique, numero x tanquam postremo horum numerorum «, 6, c, d,....aj spectato 



{a — b){a — c){a—d)...{a — a;) {b — a){b — c){b — d)...{b — x) {c — a){c^b){c — d)...{c — x) 



' ...^. . H — 



{x — a){x — b){x — c)...{x — v) ' 



denotante v numerorum illorum penultimum. 



Haec est demonstratio theorematis propositi, quae neutiquam ita est obvia, ut ista veritas inter 

 vulgares, quarum ratio facile perspicitur, referenda videatur, nisi forte alia demonstratio facilior 

 reperiri poterit; quod autem oh eam rationem minus sperare Hcet, quod hoc theoreraa veritati non 

 est consentaneum , nisi exponcns n sit numerus integer positivus, minor multitudine factorum in 

 singulis denominatoribus, ^—o^^V^ 



