: j\a\\i-vJ . 



ITieorma arithmettcum. 



155 



Cum igitur sumto pro n numero majore, snmma illarum fractionum non amplius evanescat, ex 

 ipso fonte, unde hoc theorema hausimus, pro quovis casu valorem istius summae assignare poterimus, 

 scilicet posito factorum numero =//i — 1, ideoque numerorum omnium propositorum a, 6, c, </,. . .cc 

 multitudinem =m. Si fuerit n = m — 1, vel n = m, vel n>-m fractio in demonstrationc assumta 



{x — a){x — b){x — c){x — d) eto 



tanquam spuria spectari dehct, quae partes quasi integras in se complectatur, atque huic ipsi parli 

 integ-rae summa illarum fractionum formatarum acqualis sit necesse est. 



Ita casu, quo n = m — 1, pars integra est unitas, ideoque summa illarum fractionum = 1. 

 Jn exemplo igitur supra tractato, ubi secundum demonstrationem signa mutari oportet, erit 



J35 lyS 15S 12^ S^ ?^ 



2700 1260 1512 



3240 "* 12600 



113400 



= 1. 



Sin autera sit n = m, pars intcgra, ex fractione illa eruta, cst cc-f-a-i- 6 -i-Cr*- d-ij^etc., seu 

 summa omnium numerorum propositorum. Cum ergo in superiori exemplo sit summa numerorum 

 propositorum =73, erit 



18« 176 J56 12« 8« 3« 

 1512 



73. 



2700 1260 1512 3240 12600 113400 



Ilinc facile colligitur, quomodo hae summae ulterius sint inveniendae. Numerorum scilicet pro- 

 positorum a, 6, c, dy...x primo sumatur summa, quae sit = P, tum summa productorum ex hinis, 

 quae sit = Qy porro summa productorum ex ternis, quae sit = fl, item ex quaternis = 5", ex 

 quinis = T, et cetcra, quo facto formetur series 



1 -H2(-*-33-+-6H-2)-+-etc., ut sit '*=* 



P, q3 = 5(P— (3, (^ = ^P--^Q-^R, 2) = 6P — 93<2-*-5(iR — 5^, etc. 



^ 



atque 



castt 

 n = m — 1 

 n = m 

 n = m-i- i 

 /i = m-f-2 

 n = m-¥-3 

 n = m~i~k- 



erit siimma noslrarum fractionum 



1 



R 



% = P 



93 = P"— (2 



e = P'— 2PQ-*- 



^ = P*_3P^(2-+-2Pfl -H Q* — 5* 



(S = P*— \P^Q -^3P^R-+- dPQ''- 2PS — 2QR -+- T 



etc. 



Vel si ponatur summa ipsorum numerorum =^, summa quadratorum =0, summa cuhorum =0{, 



summa potestatum quartarum = <3, quiutarum = X etc. erit ut sequitur 



01 = ^5, S3=-^rH-^0, (| = |r-^|^0 



% 



3)=i^*-+-Trci 



24"^ '4 



qui valores hac lege progrediuntur, ut sit: 



C^ 



^m 



1 ^ . 

 -7^, etc. 

 4 



