T5S L. EULERI OPERA POSTHUMA. ArMmettca. 



aa; — /?i = 63 — 62 = -Hl, et altera radix ay — y/^ 18 — 31 = — 13 = r, 



irnrle fiat sequens tabula-: 



X 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 



^7 13, 5, 8, 10, 3, 15, 2. 



Miniraa formula hinc nascens erit secunda: 3,2^-f-2.5-=62, quod per 31 divisum dat quotum minimum 2. 



A. m. T. I. p. 94. 95. 



C*)^''' > II I li-Mi >; I.- 1 •! s» ;^i 'i *:$ ^ u m. j^y %yyi%mmui-m mivmi'^iv%ik 



3. 



Theorema. Si fuerit numerus primus formae p=8n-f-5, constat semper dari formam aa-\-\ per illum 

 numerum jp divisibilem, tum vero nulla hujusmodi forma xx±aijij unquam eril per p divisibilis. Contra autem 

 pro numeris primis formae j;=8m-i-1 datur etiam forma aa-t~l per p divisibilis, tum vero dabuntur formulae 

 xx±ayij per p divisibiles. ifUMi 



Demonstratio eo nititur fundamento, quod pfiori casu numerus a semper sit non-residuum, in posteriori 

 vero residuum; illud autem inde ostenditur, quod numerus residuorum sit Kn-+-2, inter quos quilibet numerus 

 utroque signo -i- et — occurrit, unde muUitudo diversorum residuorum erit 2n-\~\, sciiicet impar; sin autem 

 numerus ille a inter residua esset, haec multitudo prpdiret par, quod esset absurdum. 



; *ic±:\f J; A. m. T. I. p. 114. 



{N. Fuss /.) 



'■ • •• • , '■.■.!?!•.•,, ,,.•■■ 



Theorema. Si formula naa-h-bb divisibilis sit per numerum ^J, sempei' dari pbierit formula n-i-g'^ divi- 



.1 



sibilis per eundem numerum p, ita ut </<^— p. 



Demonstratio. Quaeratur primo formula generalis nxx-t-yy per numerurfi p divisibilis, quod fit su- 

 mendo x^=aa — /?p et y=ah — yp; tum enim ista formula erit ao.[naa-i-bb) — 2p{haap-\-ahy)-\~fp[n^^-\-yy\ 

 quae ergo per p est divisibilis. .lam semper numeros a el /? ita accipefe licebit, «f fiat aa — ^p=\, ideoque 



.r = l, quaerendo scilicet fractionem — proxime aequalem ipsi — • Gum igituf sit y = ab — y/j, numerum y 



semper ita accipere liQebit, ut fiat y non solum minus quam p, sed etiam minus quam — />. 



Problema. Quando formula ;«^h-W divisibilis est per numerum p, quotum cx divisione resultantem per 

 formulam integram exprimere. >jitT ©iif' sn BioJls lia oJ.n»f«i 



SoLLTio. Cum igitur detur numerus '^," iil sit n~i~qq divisibile per p, ponatur — ~=r sumalurque 



b = qa-i-pd eritque naa-\-bb = naa-t-qqaa-i~2pqad-i-ppdd, quae ob n=pr — qq abit \n p[raa-\-2qad-\-pdd), quae 



ergo per p divisa dat raa-\-2qa.d-+-pdd. Quod autem poni possit b=:qa-\-pd, sive ut semper sit numerus 



integer, inde patet, quod etiam detur formula n-\-qq' pev p (Kvisibilis, ideoque etiam naa-t-aaqq, quarum diffe 

 rentia hb — aaqq per p divisibilis erit, unde cum p supponatiir numerus primus, vel b~\-aq, vel b — aq per p 



divisibile, utrumvis perinde est. Quia crgo — integer sit =d, ideoque ponisempef poterit b=:qa-\-pd. 



^ ■ . ' ^ ^ ,/ * A. m. T. II. p. 209." 



,f l^T in*i ?>«j- iftiip Jm toflrra &}' m >-.u1oh;> . i^ n •>-;■,■■ ^ mfiup ji» joiiuu Jitu» :'*%i;ji • j t-"? 



5. •^»^'» 



•''fTHEiOREMA. Oibnis humenis primus fo^-mae 8«-V^i'Semper in formS trx-4^2ijy ^bntihetur. 1'"*^^ 



DEnt-bi^BTRATio. Sufficiet osfendis.^ise semper exhibefi posfeef fonriAihi ^*'Hh2S* per 8n h- 1 divisibilem. 

 Demonstratum autem est, hanc formam a**" — t^" semper divisibilem esjse per 8n-i-lj^. quicunque numeri pro 

 (i et b accipiantur, .scihcet primi ad 8nH-l. Ergo a*" — b*", vel a*''-^b*" crit divisibilis. Facile autem demon- 



