Fragmenfa ex Adversarits depromla. 159 



8tratur non omnes numcrofi a*" — b*"^ divUibiles e«.se. Dantiir ergo casu^, qiiibns forma a^"H-i*" e*»l divijsibili«. 

 Ilabebilur ergo summa duorum biquadratorum divi/iibilis A*-\-l\*. Quare cuui sit a*~v-b*={aa — bb)^-t~2(iabb, 

 propositum est demonstratum. — Ita cum 97 in forma 8n-i-l contineatur, reperilur 97 = 5*-i-2.6*. 



Theorema. Omnis numeru« primus formae 8n-*-3 «imul in forma xx-\-2y\j conlinetur. 



Demonstratio. Ilerum «ufficiel oslendisse, dari formam A'^-i-2B^ per 8n-t-3 divi<»ibilem. (.'um if^ilur 

 baec forma a*""*"* — ^8"-+-2 «eniper sit divisibilis, quicunque numeri pro a et 6 accipiantur, erit vel a.a*" — b.b*", 

 vel a.a*"~i-b.b*" divisibilis. Jam sumatur a = cc et b = 2dd ut a.a*" fiat quadratum i4* et b.b*" duplum qua- 

 dratum, pu(a 2^^, sicque vel forma A^ — 2B^, vel A^~\-2B^ divisionem admittet per 8n-i-l. At vero demon- 

 stratum est, fonnitm A^ — 2B^ alios divisores non admittere, nisi vel formae 8n-Hl, vel formae 8n — 1, unde 

 sequitur alteram formam A^-^2B^ divisibilem esse. Ita cum sit 107=8.13-1-3, reperi tur esse lO^^S'^-*-^.^*, 

 hocque semper unico modo, quod ila demon§tratur : 



Sit P=aa-t-2bb simulque P=cc-^2(ld, numerus P necessario est compositus. Cum enim sit 



aa -I- 2bb = cc-h- 2dd, erit aa — cc = 2 [dd — bb) , 



unde sequitur - — =:-^ ^ =: ^ . Erit ergo a-¥-c = ap et d-\-b=aq, d — b = (ii) et a — c = 2^q. Ilinc 



2a = ap-\-2pq et 2b = aq — (3j); quare cum k-P = h^aa-i-2.hbb erit ^P = {aa~i-2.3l3){})p-¥-2qq), sicque iP 

 certe duos babet faclorcs, quorum neuter unquam esse potest neque 1 neque 4; sequitur P ad minimum duos 

 babere factores: 3=1=^-h2.P 59 = 3--t-2.5* 



11 = 3^-4- 2. l^ 67 = 7--h2.3* 



19 = 12-h2.3'^ 83 = 9=^-4-2. F 



43 = 52-h2.32 107 = 3=^ -h2.7^ 



Notandum hic, praeter casum primum, in omnibus reliquis allcrum quadratum semper per 9 esse divisibile. 



A. ni. T. III. p. 180. 181. 



6. 



Theorema. Proposilis numeris quibuscunque a, b, c, d, s\ numerus formae a%)-*-c</^</ muUiplicetur per 



numerum formae acrr-v-bdss, tum productum semper continebitur in hac forma bcxx-t-adijy. 



Demojsstratio facile patet. Sumto enim x = apr-i-dqs et ii = bps — cqr, postrema forma bcxx-\-adyy 



reperitur productum binarum praecedentium. A. m. T. III. p. 182. 



(Gotowin.) 



Theorema. Productum ex duabus hujusmodi formulis aa-\-ab-\-bb et cc-\-cd-\-dd seinper ad sinulem 



formam xx-\-xy-\-yy reduci potest. Est enim duplici modo 



vel x = ac-\-b{c-\-d) et y = ad — bc 



vel etiam x = ad-\-b{c-\-d) et y = ac — bd. 



Ita si fuerit a = 3 et b = 2, tum vero c=l et rf=5, erit aa -\- ab -\- bb = Id et cc-\-cd-t-dd=3l ; prior 



igitur resolutio dat a* = 15 et «=13, hincque xx ~\-xy-\-yy==9S9. 



A. m. T. II. p. 204. 



(Lexell.) 

 Theorema. Si formula aaa-\-2^ab-\-ybb per aUam sui similem app-l-2/?p</-4-y<79 multiplicolur. productum 

 prodit hujus formae 



XX-\-2pxy-\-aYyy eritque x = aap — ybq et y = aq~\~bp-\ — -bq. 

 Corollarium. Ita si fuerit a = l, 2/? = l et y=i, erit {aa -h- ab -\- bb) {pp -\- pq -h- qq) = xx -\- .ry -\- >jy 

 e^stenlex.;= epf—bq et y = aq-\-bp-\-bq. 



JVota Editorum. Casum specialem, quo /J = 0, vide CommenL arithm. T. II, p. 201. 



A. m. T. I. p. 26. 



