160 ' L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 



Theorema. Si formula aapp-i-bpqq ducatur in formulam abrr-^a^ss, productum erit: 

 ab[aapprr-v-^Pqqss)-i-a^{aappss-i-hbqqrr) = ab{apr±:8qs)^-h-ap {apsitzbqr)'^, 

 hujus ergo producti forma est abxx-t-apyy existente x = apr±^qs et y = aps±bqr. 



(Conf. pro casu a = b = l Coninient. arithm. T. II, p. 201.) 

 Problema. Formulam aaxx-^b^yy in aliam ejusdem generis transformare. 

 SoLUTio. Ponatur x = bmp-i-^nq et y=-anp — amq et prodibit 



aabbmmpp -+- aa^^nnqq-^-b^aannpp -\-bfiaammqq = abmm {abpp -\- a^ qq) -+- a^nn [a^qq -f- abpp) = 

 -I 



{ab mm -\-aBnn) {abpp -+- a3 qq) . 

 ' A. m. T. I. p. 130. 



7. 

 (iV. Fuss 1.) 

 Theorema. Si numerus formae xx-i-nyy divisibilis fuerit per numerum pp-\-nqq, quotus semper erit nu- 

 merus ejusdem formae A^-t-nB^. 



Demonstratio. Cum numeri x et y ad pp-\-nqq debeant esse primi, el p ei q quoque sint primi inter 

 se, quicunque fuerint numeri x et y, semper per p et q ita repraesentari possunt, ut sit x=^ap-\~Pq et 

 y = yp-t-8q. Hoc modo formula xx-t-nyy abit in hanc: pp{aa-\-nyy)-\-qq{^^-\-n88)-\-2pq{a^-\-nyd), quae per 

 jyp-t-nqq divisa praebeat quotum A, ita ut sit 



PP {aa -\- nyy) -\- qq (/?/? -\- ndd) -\- 2pq («/? ~\- nyd) =■ App -\- nAqq. 



Hinc igitur patet fore A = aa-\-nyy, nA = ^p-\^n8d et a(3-\-ny8 = 0, unde jam patet formam ipsius A csse 

 aa-\-nyy. Tum eliam erit nA = p^-\-n88 et a^-\-ny8 = 0. Ex ultima fit ~= — -. Ponatur ergo 

 8 = af et /? = — nyf, erit /?/? -f- n88 = nff {aa -\- nyy) = nA, unde A = ff{aa -\- nyy). 

 Cum igitur sit A = aa-^nyy, sequitur fore f=±\. His valoribus fit 



...| i'.Tj'*-»JkjrtiiMi|-?\- x = apzf,nyq et y = yp±aq. 



Hinc fit xx-\-nyy=pp{aa-\-nyy)-\-nqq{aa-*-nyy) = {pp~\-nqq){aa-\-nyy), 



sicque quotus uti jam vidimus 4 = aa -t- nyy. 



A. m. T. III. p. 184. 



. 8. 

 Theoremata demonstr anda. I. Si fuerit h^na-\-bb numerus primus, erit semper hujus formae a?a! — ayy. 



n. Si fuerit 4na — bb numenis primus, erit semper hujus formae oj/y — xx. 



A. m. T. II. p. 154. 



UHUi ; IL =.V . 9» 



Theorema. Si numerus mnff-\-gg divisorem habeat primum p = -^ » tum etiam quotus q, ex hac 



divisione ortus, erit quoque ejusdem formae scilicet q = -. • 



ExPLiCATio. Quaerantur primo duo numeri X et ^, ut sit Xa — ^p=zt.\; deinde ut formula mnff-\-gg 

 divisorem admitlal p, altcram litteram f pro lubitu accipere licet, tum vero altera g ita esse debet comparata, 

 ut sit g = nXbf — v\ 

 modo determinantur 



ut sit g = nXbf—vp, quibus notatis cum sit mnff-\-gg = pq existente q = — — > litterae c et d sequenti 



c = nfibf — va et d = mnaf-\~vb — XAf. 



A. m. T. II. p. ^ll. 



