Fragmenfa ex Adversariis dcpromla, 161 



b) De divisoribus numerorum formae fa"H- gb". ■ u 



10. 



[Lexell.) 



PRonLEMA. Si formiila faf* -^ jh'* AWi&oveoi habeat cf» 4avoaire-iafinilas alias ^imile» formas fcc^^-v-gy" per 

 eundem mimerum d divifiibilcs. VH TT .V') .();♦ /:?: .Ti' ,*'? Hfl ,;j .' i. 



SoLUTio. Capiatur x=ma±/xd, et y=mb±vd, et quaesito salisfiet; si enim /* et r=0, rcs e.st manifesta ; 

 sin autem multipla ipsius d accedant, omnes fiermini post primoii ex evolutione nati, per se sunt divisibiles per </. 



Problema. Invenire omnes divisores primos formulae x*-i-y*. Cum haec formula sit factor hujus x^ — y^, 

 demonstratum est, omnes ejus divisores contineri in forma 8n-f-l, quod etiam hoc modo ostenditur: Cum formae 

 a^-i-b^ omnes divisores sint formae 4n-+-1, ponamus formulae aa-t-bb divisorem primum esse 4n-i-l=rf; tum 

 ergo etiam omnes formulae xx-h-yyper eundem numerum erunt divisibiles sumendo x^=ma±jj,d, y-z=mbz*zvd. 



Pro nostro ergo casu hi ambo numeri debent esse quadrali. Pro priore sumto fi=0, hoc fiet si m=:app, 

 ut fiat x=ap. Superest ergo, ut et haec forma y^=abpp±rd fiat quadratum, idque sive positivum sive negativum. 

 Ponatur ergo abpp±vd=±qq et res huc redit, ut abpp±qq divisibile fiat per d, et quia statui potest a'-i-b^=d, 

 quacritur ergo quibus casibus formula abpp±zqq divisibilis fieri possit per rf._ Varios ergo casus evolvamus: 



I. Sit rf=5, erit o=2 et 5=1, unde formula 2pp±qq divisorem habere deberet 5, id quod fieri ne- 

 quit, neque vero 5 continetur in forma Sn-i-\; atque hinc vicissim concludere possumus, neque 2pp-+-qq, nec 



2pp — qq unquam divisibile esse per 5. ,. . . « 



f^^ ^' ^ . r 'ir.mnr. rur.r:!n ./ k'< itii-;!" 



II. Sit rf = 1 3 , erit = 2 et 6 = 3, et nunc quaerilur an formula Qpp dz qq divisibilis esse possit per 1 3, 

 id quod ne^jari debet, quia 13 non est formae 8n-f-1. ^ . .... ■ . ' 



III. Sit d=\7, erit a=l et 6=4, nunc quaeritur an h-ppdtiqq divisibilis esse possit per 17, qnod utique 

 affirmandum, verum est etiam 17=8n-i-l. 



IV. Sit rf=29 erit a=2 et 6=5, et quaeritur an I0ppz*zqq divisibilis esse possit per 29, quod qiiia 29 

 non est 8n-f-l, negari debet. 



Corollarium 1. Hic ergo distingui oportet duos casus, prouti existente b numero impari, numerus a 

 fuerit vel impariter par, vel pariter par. Priori casu divisor d non erit formae 8n-+-l, sed formae 8n-+-5, 

 ideoque hic casus est excludendus. Sit igitur imfiTfwnoq Jtoiplfiy' 



alomiol «=4a±2 et 6 = 4/?±l, eritque aa-i-66= 16 (a'-i-/9-) ± 16« =t: 8/?-h5. i 



Ergo per talem divisorem nunquam divisibilis erit haec forma (tQa^ z*zi{az±z2p)±2)ppzt:qq. Per mimerum 

 ^rgo primum 16 (a*-»-/?^)-i- 16aH-8/5-t-5 talis formula 1 6a/? -h 4 f2/? -§-«)-+- 2 nunquam est divisibilis. 



Corollarium 2. Sin autem manente b = i^-h-i (ubi /? etiam negative capere licet) sit <Jr=4a, erit 

 aa-i-66 = 16(aa-i-/?/?)-f-8|5-i-1, et nunc certi sumus, dari formulas ha{i^-i-i)pp zt:qq, quae divisorem ha- 

 beant 1 6 (aa -i- /?/?) -f- 8^ -+- 1 . 



Corollarium 3. Si igitur verum est, omnes numeros primos formae 8n-i-l divisores esse posse for- 

 ihulae j-^-i-i/*, seqiiitur nostram formulam 16(a^-*-/?^)-i-8/?-Hl omnes plane numeros 8n-4-l in se continere 

 siquidem fuerint primi. Aequemus ergo has formas et reperimus 



n = 2(a2-i-/?2)db/?, 

 ubi n denotat omnes plane numeros saltem eos, qui faciunt 8n-i-l primos: 



r.iJnonv 0, 2, 8, 18, 32, 50, 72, 98 



1, 4, 11, 22, 37, i^6, 79, 106 

 1, 2, 7, 16, 29, 46, 67, 92 »- ,. .4 ;=% i^/i, 



L. Ealeri Op. p<Mlhama. T. I. 21 



