162 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anthmtica. 



fiive 2(a2-#-/?2)^/3 = 0, i, 3, 6, 10, 15, 21, 38, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105 



2, 3, 5, 8, 12, 17, 23, 30, 38, 47, 57, 68, 80, 93, 107 

 8, 9, 11, U, 18, 23, 29, 36, U, 53, 63, 74, 86, 99 

 ^9,{ "v,^-f-"x'\ afianol mlhuh 18, 19, 21, 24, 28, 33, 39, 46, 54, 63, 73, 84, 96, 109 



32, 33, 35, 38, 42, 47, 53, 60, 68, 77, 87, 98 ... . 

 :«j.oUuun 50, 51, 53, 56, 60, 65, 71, 78, 86, 95 ,,^:^,,,,^, ,,iM qnJ ,on.a. 



.^, .j.,^ ,; r: . 71, 72, 74, 77, 81, 86, 92, 99 ..,.. v ..,.:.,, .'..:.u. ..:.,..... 



, ; , 98,99 



Hic omnes nnmeri non occurrunt, /sed excludunlur 4, 7, 13, 16, 20, 22, 25, 26, 27, etc. at vero ex his om- 

 nibus 8n -+- 1 non fit primus. 



Si igitur A denotet numerum impariter parem 4w-*-2 et B numerum pariter parem sive 4n, et C numerum 

 imparem 2n-i-l, tum haec duo habentur theoremata: 



J. Per numerum primum A^-i-C^ neulra formula ACm±qq unquam dividi potest; neque etiam summa 



.fUII/l:' 



^ duorum biquadratorum, unde sequitur, si singula quadrata per A^-v-C^ dividantur, tum in residuis neque 



H-i4C, neque — AC occurrere, sed certo qssq non-residua. 

 II. Sin autem divisor primus fuerit B^^-t-C^, tum semper datur formula BCpp±qq per eum divisibilis, ac 

 propterea etiam summa duorum biquadratorum , atque in residuis quadralorum, per eundem numerum 

 primum B^-+-C^ divisorum, tam -+-BC, quam — BC reperientur, - / ^ ' 



Froblema. Invemre omnes divisores pnmos lormulae fx*-i-gy . 



Cum omnes constent divisores formulae faa-\-gbh, qui sive in formula faa-t-g^fi, sive in hac aa-t-fg^^ 

 continentur, sit quilibet eorum z=d, per quem formula faa-\-ghh sit divisibilis; tum sumto X=ma±ad et 

 Y=mbdtzl3d, ut forraula fX^-t-gY^ etiam per d fiat divisibilis, jara reddatur prirao X quadratum, quod fit si 

 m=zaiyp; tum vero erit Y=abpp±l3d, quod etiam quadratum reddi debet, quod sit ±qq, et nunc oportet, 

 ul dbpp±qq divisibile fiat per d, eritque Y=:=±qq et X=aapp, quare sumto x=ap et y=:q ^ei fx^^-i-gy* per 

 d divisibile. IIuc ergo redit quaeslio: quibus casibus forraula abpp±qq dividi queat per memoratum divisorem rf, 



qui est vel faa-t-g^(3, vel aa-i-fg^^. ... 



ExEMPLUM 1, Sit f=i et g=2, ideoque d=aa-\-2^p, qtii numeri sunt vel 8n4-il^"^f^-4^3, quos 

 valores percurramus. Sit 



I. (/=3, per quera formula ««-+-266 divisibilis fit; si a=l et 6=1, unde quaeritur an formula pp±qq 

 diyisibilis fieri queat per 3, quod cum eveniat, etiam 3 erit divisor formulae a;*-i-2j/*. 



II. Sit d=\\, erit a=3 et b=\, hinc nostra formula 3])p±qq divisibilis per 11, at ipsius 3pp-+-qq divi- 

 sores sunt formae 12n-i-l, 12n-i-7, formulae autera 3j)p — qq divisores sunt vel 12n-i-l, vel l2n — 1, ideoque 

 postremus casus quaestioni satisfacit, ergo datur formula x*-i~2ij'^ per 11 divisibilis. 



IH. Sit d=\7 , a=3, b=2, ergo formula nostra per 17 divisibilis erit Qpp±qq, at prior Gpp-i-qq non 

 est divisibilis, neque etiam posterior, unde sequitur nullam formara x*-t-2y* dividi posse per 17. 



IV. Sit d=id, erit a=l et fc=3 et forraula per 19 divisibilis erit 3pp±qq, id quod fieri potest ponendo 

 ex. causa p=\ et ^=4, hinc x=\ et j/=4, atque forraula x*-t-2y* erit divisibilis per 19. 



V. Sit d=h\, erit a=3 et 6=4, et haec forraula nostra per 41 divisibilis reddenda fit \2pp±qq, «ive 

 haec 3pp±qq, at 41 in nulla harura forraularum 12n±l, 12n-»-7 continetur. Ergo non datur x*-i-2y* per 

 41 divisibilis. 



VI. Sit rf=43, erit «=5 et 6=3, hinc formula per 43 divisibilis \5pp±qq, sive etiara 5pp±3qq, id quod 

 fiuccedit, cum sit 43 = 3.4^—5.1'^, ergo datur forma x*-i-2y* per 43 divisibilis. Si ir = «p = 20, y = 5, 

 fiive a: = 4, y= 1. 



