Fragmenta eai AdversaYiis depromtd. . ^ 163 



yil. Sit (/ = 59,:. eril a:f=Z et b=;s5, hinc ronnula i5pp:izqq^ sive 5pp-iziqqt ubi inanire«to 15.2' — 1, 

 «rgOia!;=s6<».yp=:l, et formula x*-t-2y* per 59 divisibilis. ihlY oVidiyMiq v>t]ut',' {«li iiik 



GoROLLARiuii 1. Videtur ergo, quoties fuerit rf = 8n-f-3, tum fore divisorem forraae a?*-f-2y*, nec non 

 et hujus abpp±qq, at vero tum fiunt ambo numeri a et A impares; (juoties ergo aa-^~2bh fuerit numeru» 

 primus, semper dalur formula abpp±qq per eum divisibilis, sive inter residua quadratorum reperielur vel 

 H-oA, vel —.ab. >>,»v ■ . 



CoROiLAKiuM 2. Contra autcm non omnes numeri Sn-f-i excluduntur, quia nuroeros 113 = 3*-h2.2*. 

 Vin. Sit d = 67, a = 7, 6 = 3, formula 2ippz±zqq, vel 7pp±Zqq, p = 5, ^ = 6, -vel ar = 35, y=18. 



ExEMPLUM 2. Sumatur /"=1 et ^ = 3, ut quaerantur divisores formulae x*-h-3y* et divisor d erit 



aa-t-2bb, eril ergo vel formae 12n-t-l, yel 12n-i-7. 



nuilini; 



I. Sit rf = 7, erit o = 2 et 6=1, et formula - ,j-^) quod succedit quia 7 = 2.2'— 1, unde p = 2y 



.ui I / ;i i Af.if.f .1 ii 



II. Sit rf=13, erit''/i^^t'6(^!^2 et formula ^^^^^, quae est ri^passib{Hs:*" "'•■'''' ' ' '^ '""'='^' 



III. Sit rf=19, erit a = 4 et 6=1 et formula "7" , quae succedit: /) = 9, ^=1, a;=36 et y=l. 



IV. Sit rf=3l, erit a = 2 et 6=3 et formula ^^"f^S vel ^^^^^, a^=18, y = 5. 



... ^ ... , ol »il 



VI. Sit rf=M, erit a = t et 6 = 3 et formula 1!??=«?, yel ??£=«?, j- = l2, « = 8, x = 3, « = 2. 



4.3 43 ' j ' ' j 



Hic igitur maxime est mirandum, quod solus numerus 13 hic sit exclusus. 

 Problema suPERius de divisoribus fx*-\-gy* ita concinnius resolvitur: 



Sit d divisor hujus formulae, qui necessario erit divisor talis formulae fa^-\-gh^. Cum igitur hae duae for- 

 mulae faa-\-gbh et fx*-i-gy* habere debeant communem divisorem d, mulliplicetur prior per x* et posterior per 

 flfl, horumque productorum diflerentia, quae est gbbx* — gaay* = g{bx^ — ay^) {bx^ -h- ay'^) etiam nuiic erit divi- 

 sibilis per d; unde si d sit numerus primus, per quem neque f, neque g divisibilis esse potest, ob 



66ir* -i- aay*= {hst;^-^ ay^) '{bx^ — ay') , 

 necesse est, ut horum factorura alter bx^dtzay'^ sit divisibilis per d. Quare proposito numero primo d, qui 

 dividat formulam faa-\~gbb, quoties assigliari poterit formula 6ira: :±: aj/y per i/, divisibilis, tunc eliam formula 

 fx*-t-gy* per eundem numerum d divisibilis erit. * 



CoRolLARiUM. Si datur formula bxx::*iayy p6r d divisibilis, eliam haec formula ;?5r3t:ff6i/y divisibilis erit 

 sumto s = 6ar; hoc autem eveniet, si inter residua quadratorum per d divisorum, occurrat numerus rizah. 

 ■TheoRema. Quoties divisor primus d fuerit forinae i« — 1,' isque dividat formulam faa-t-ghb, tum semper 



dabitur formula fx*-h-gy* per d divisibilis. 



jtii!:-, ' . .;...; , ,, ;|^ or.nnol i'rvnr\ .' 'r •ii> if .t/ 



Demonstratio. . Cum divisor d sit formae 4n— 1, sive 4n-f-3, si quadrata singula per eum dividanlur. 

 •(iitfM. ••■.,- n ., . -■;■ ,,- .^ . i, : . . - ,•■/;-'.,. , . , 



inter residua omnes plane numeri occurrent, sive signo plus, sive minus aflecti, ergo etiam occurret numerus 



vel -i-a6, vel — a6, dabitur ergo formula zz±abyy, ideoque etiam bxx±ayy per d divisibilis. 



CoROLLARHJM. Al M rf fuerit formac 4n-4-l, quia in residuis qnadratorum non omnes numeri occunnmt, 

 sed semissis. adeo penitus excludatur, sive positive, sive negative rapiantur, utique fieri potest, ut r+= a6 inter 

 ea non occurrat et tum nuUa dabitur formula fx*-\-gy* per d divisibilis. Observatum autem est (nondum vero 

 demonstratum) omnes divisores formulae axx ± byy contineri in tali forma 4a6n -i- kk. 



