164 • L. EULERI OPERA POSTHUMA. Aruhmeitca. 



-'' Hic jam duo occurrunl casus considerandi , prout vel ambo numeri a et 6 sunt impares, vel unus par et 

 alter impar. Priori casu, semper possibile videtur, ut divisor d in hac forma contineatur; at vero si a fuerit 

 numerus par, puta 2<7, forma divisorum erit %hcn-^hk, quae reducitur ad formam 8n-t-l. Quoties ergo hoc casu 

 divisor d formam habet 8w-i-5, tum casus est impossibilis, unde sequitur haec conclusio: n s>ifp«j< : 



h/ 'j Quoties ergo d=8n-H5 fuerii divisor formulae faa-f-gbb, insuperque alleruter numerorum a eth par, tum nutla 

 dabitur formula fx*-4-gy^ per d divisibilis. - 



Theorema. Si numerus primus formae 4n-i-3 dividat formulam faa~t-gbb, sive aa-t-fgbb, tum nuUa da- 

 bitur formula faa — gbb, sive aa — fgbb per d divisibilis. 



Demonstkatio. Si enim formula aa-^fgbb divisibilis sit per d, tum inter residua quadratorum reperietur 

 — fg, at fg erit non-residuum , unde etiam nulla formula aa — fgbb divisibilis erit per d. 



Theorema. Si numerus primus formae 4n-i-l dividat formulam faa~v-gbb, sive aa-k-fgbb, tum etiam 

 semper dabitur formula faa — gbb, sive aa — fgbb divisibilis per d. 



Demoastratig. Quia d dividit formulam aa-\-fgbb, in residuis quadratorum occurret — fg, ideoque ob 

 formam 4n-f-l, ibidem quoque occurret -\-fg, ergo dabitur formula faa — gbb, sive aa — fgbb ilidem per d 

 divisibilis. 



CoROLLARiuM. Quoties ergo evenit, ut formulae faa-^gbb divisor d=zKn-v-\, non simul dividat formulam 

 fx*-t-gy*, tum quia idem divisor est quoque formulae faa—gbb, forte erit divisor formulae fx* — gy*. Hoc au- 

 tem secus evenit casu f=l, g=2 et d—\l. Etsi enim 17 = 3^-1-2.2^ et simul 17=2.3'^ — 1, tamen neutra 

 harum formularum a:*H-2y* et a?* — 2y* per 17 est divisibilis. Quo hoc accuratius scrutemur, consideremus 

 residua ex divisione biquadratorum nata pro divisoribus 4n-i-l, quae semper tantum numero n. 



Divisor Besidua 

 5 1 



13 1, 3, 9 



■•'"■' ■ |-f-l, -i-4 



r-f-1, H-7, -1-20 

 ^' 1-^,-5,-6,-13 



j-i-1, -f-7, -f- 9, -1-10, H-12, -f-16 

 U ^^ 1-3, -4, -11 



6u .. 41 (-*-!' -»-'^ -^-*0, -f-16, -f-18 



« \- 1, -4, -10, -16, -18 



Hiflc ergo discimus, si divisor fuerit formae 8n-f-5, tum numerum residuorum es&e 2n-f-l, ideoque imparem, 

 unde nullum utroque signo occurrit, unde, si formula fx*~-h-gy*^ fuerit divisibilis, allera fx* — gy* certe non erit 

 divisibilis, quod autein vicissim non valet, quia numerus non-residuorum triplo major est, quam residuorum. 

 Pro tali ergo divisoris forma vel neutra formularum fx*±gy*, vel unica saltem est divisibilis. 



At si divisor fuerit formae 8n-i-l, quodvis residuum utroque signo aflectum occurrit, unde si una harum 

 formularum fuerit divisibilis, etiam altera erit divisibilis, sive vel utraque, vel neutra divisibilis erit. Hinc sequitur 

 primo si divisor primus =: 8n-f-5 dividat formulam faa-t-gbb, quo casu etiam dividet formulam faa — gb b , 

 illinc autem pro biquadratis formula axx±byy per d fuerit divisibilis, tum certe formula a'x^:±zh y* non erit 

 divisibilis. Deinde si fuerit rf=8n-f-l et dividat tam formulam faa-^gbb quam faa — gb b , tum si formula 

 axx±byy fuerit divisibilis, cerle etiam altera a xx±h tjy erit divisibihs, et si illa non erit, etiam haec non erit. 

 '" ; ";•*-' • . — ^. ' . .-..j v;>.H A. ra. T. I.p. 218-223. 



