.V)ni 



Fragmenta ex Adversartis depromid. 



165 



(N. Fuss 1.) 



Problema. Invenire omnes suminas binorum biquadratorum x*-i-y*, quae sint divisibiles per dalum nu- 

 merum primum formae 8m -♦- 1 = 4. 



SoLUTio. Cum baec formula x"-t-i/' alios divisores non admittat nisi formae 2m-f-l, sequitur formulam 

 or^-h-y* alios divisores habere non posse nisi formae Si-t-t. Tales autem numcri sunt 



17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, 193, 233, 241, 257, 281, 313, 337, 353, 401, etc. 

 qui numeri cum omnes sint summae duorum quadratorum, sit A = aa-t-bb. Deinde cum alter numerorum a; et 

 y pro lubitu accipi queat, sumatur x = a, et pro y inveniendo quaeratur numerus quadratus formae iA±ab, 

 qui sii pp atque sumi poterit y = p, vel in genere y = aA±p. Cum enim sit pp =ziA±ab, neglecto multiplo 

 ipsius A, quippe quod semper adjici potest, erit y* = p*=:aabb, hinc ergo erit x* -^ y*^ aa {aa -t- bb) ^ aaA, 

 ideoque x*-^y* divisorem babebit A. Idem valor y=p valet quoque pro x = b; tum enim erit 



x*-t-y* =bb{aa-\- bb) = bbA. 



Praeter p autem dabitur alius valor q, ut sit p:q = a:b, ideoque j = — , sive q 

 semper erit integer. Sumto enim 



X =^a et y = q 



bp -t- id 



; unde valor ipsius q 



bo b^o^ 



— , erit x*-i-y*=a*-i ^ et ob p* = aabb, erit x*-t-y* = 



6C 



At vero a'-f-i^ semper habet factorem aa~t-bb=:A. Eodem modo patet, sumto x=-b et y=^q, etiam ic''-i- y* 

 factorem A esse habilurum. Sumlo igitur sive a sive b pro x, tum pro y sumi poterit s\\e p sive q; unde patet, 

 si pro X capiatur vel na vel nb, tum pro y sumi debere vel np vel nq, qui valores, cum semper mulliplum 

 ipsius A auferre liceat, omnes hos valores infra —4 deprimere licebit. Praeterea vero ad singulos hos yalores 

 quaevis multipla ipsius A addi possunt. Hoc modo pro quovis divisore A tabula construi poterit duabus constans 

 columnis, quarum prior binos valores ipsius x, altera vero binos ipsius y exhibebit, id quod exemplis illustremus. 

 I. Sit 4= 17 = 4^-f- F, erit a=\ et 6 = 4. Nunc igitur erit p;^ = 17n z±: 4, unde statim sumi potest 

 n = et p = 2 et ob 1:4 =^.5' erit ^ = 8. Hinc ( 



y :ii> 



2, 8 



3, 5 



2, 8 

 4, 1 

 6, 7 





ubi, quia x et y sunt permutabiles, secundi valores, utpote in primis jam contenti , omitti possunt, ita ut tabula 

 duos tantura casus involvit, scilicet pro a*, 1, 4 et 3, 5, et pro y, 2, 8 et 6, 7. Ita v. gr. sumto a: = 5, 

 sumi poterit y = 6; quia igitur 5^=625 el (i^= 1296, erit ^*-i-j/*= 1921 = 17.113. r—A» 



II. Sit i = 41=4^-+-5^ eritque a = 4 et 6 = 5, ideoque pp = 41n rt 20, ideoque n = 4 etp=i2. 

 Jam 4:5=12:5^, ergo q=i5. Hinc pro divisore 41 nostra tabula erit: »♦«»** iiM-riiiu* « otq HMUkja 



T by £ t- " ' 



,1 '-.j;,.. 



Ita fiumto ir^I et i/ = 3. eril ar*-i- y*=82 = 41 .2. 



