166 



L. EULERl OPERA POSTHUMA. 



Arithmetka. 



Simili modo tabulam construximus pro sequentibus 



i = 73 



4 = 89 



i=97 





W') lOiff :>V 





Sit i = 89 sumto a-=5 et i/ = 7, erit ^^*-i-i/*= 3026 = 89 .34. 



Cum hae tabulae facillime ex positione litterarum a, b, et p, q construantur, istam positionem pro singulis 

 divisoribus A hic apponamus: 



Hic igitur praecipuum negotium in inventione quadrati pp=nA±ab consistit, quod autera sequenti modo haud 



i . 



difficulter praestabitur. Cum enim semper dentur numeri p et q, minores quam — J, eorum complementa etiam 



erunt <C.A, semper ergo dantur quatuor tales numeri minores quam A, quorum duo erunt pares et duo impares, 



atque cognito uno, reliqui tres facile inveniuntur.i ■ >■' - 



Quaeramus igitur numerum imparem pro p et cum sit pp = nA±ab, tum vero pp<^AA, singulos numeros 



(■!■• 



;i lentando non ultra n = A progredi opus est. Deinde, quia\4 = «a-+-66 = 8m-i-l, numeroriim a et 6 aller 

 erit pariter par, alter vero impar, unde productum a6 habebit vel formam 8t-f-4, vel Si. Pro priore casu, quo 

 a6 = 8«-*-4, quia A est 8a-i-l, quadrata autem imparia formam habent 8^-+-l, ut talis forma oriatur, sumi debet 

 n = 5, vel w = 8a-i-5, sicque casuum examinandorum numerus octies erit minor. Pro altero casu, quo a6=8»n, 

 numeri pro n sumendi erunt 1, 9, 17...8/-f-l. Inter hos autem numeri etiam statim excludi possunt ii, qui 

 desimmt in 3 vel 7, tum etiam ii, qui sunt formae 3^' — 1. Praeterea vero etiam ipsam formam jip = nA±ab 

 in alias similes transformare licet. Si enim fuerit ab-i-aA = ffA, erit pp = ff{nA± A); tum vero si fuerit 

 aA-h-A = ggB, erit etiam pp ■= ffgg {nAzt: B) et ita porro. Inter quas plurimas formas plerumque casus sponte 

 «e produnt, quibus quadrata emergunt. Ex his autem egregia theoremata deduci possunt: 



I. Si fuerit /l = aa-H66= 8m-i-l , haee formula nA±ab semper quadratum reddi polest. 

 II. Si fuerit A = aa-¥-bb = Sm-t-5, tum ista formula nA±ab mmquam quadratum fieri potest. Ita si 

 4 = 5, ob a=2 et 6 = 1, haec forma 5n±2 mmquam esse potest quadratum , quod per se conslat. 



