Fragmenla ex Adversariis depromla. 



169 



125 d=l 

 ideoque vel J=13, vel 4 = 21=3.7, lum x = t, i, 16. Si a = 5, erit 4 = — — — •, ideoque i = 21, vel 



4 = 31, x = i, 5, 25, elc. TT 



Problema. Ut formula ar"°— 1 divisibilis fiat per 4, . valores ipsius x assignare. 



o*=tl ';!' ■ 



SoLLTio. Hic debet esse 4 = - _^. , ac tum quinque habentur valores principale« pro a?, ccilicet 1, o, 



32=fcl 

 aa, «', a*, quibus adjici polest MS. Sic sumto a = 2, ejrii 4=;:-^^., vel 4=11, vel 4=31, erilque 



243-1-1 

 x = i, 2, 4, 8, 16. Si a=3, erit 4=—^, idebque vel 4 = 61, vel 4 = 121, hinc x = i, 3, 9, 27,81. 



Si a = i, erit 4=-^=^, vel 4 = 205, vel 4 = 34-1 = 11.31 et x=i, 4, 16, 64, 256. Si a = 5, erit 

 j^?*^25itl jjg^qyg vel 4 = 521, vel 4 = 781 = 11.71, a:=l, 5, 25, 125, 625, etc. 



NB. Onmes divisores primi hic sunt formae 10»-+- 1. Dato ergo tali divisore, veluti 131, quaeri debet 

 niimerus a, ut a^^drl divisiouem admiltat per 131, quod hoc casu non evenil, nisi sumatur vel a = 42, vel 

 a = 53, vel a=58, vel a = 70; tum enim habebitur x = i, 42, 70, 58, 53. . 



Quando autem divisor 4 datur, in forma lOn-i-1 contentus, valor litterae a hoc modo erwetur. Cum 4 

 debeat esse divisor formae a^— 1, capiatur a = b", erit a^=6*", semper autem est 6*°"— 1 divisibile per 

 lOn-i-1, ideoque vel 6'"h-1, vel b^"—i, quocirca sumi debet a=b". Ita pro casu 4=131 estn=13, ideoque 

 a = b^^; sumto ergo 6 = 2, erit 6*^=8192, quod divisum per 131 relinquit 61, et valores ipsius x erunt 1, 

 61, 61*, 61^ 61*. Est vero 612=3721, quod dat 53, et 61.53 dat 42, et 61.42 dat 58. Sicque x = l, 61, 

 53, 42, 58. Eodem modo si proponatur 4=151, erit n=15 et a=19, a*=59, o'=64, a*= 8. 



Ul formula x^-\-y^ divisibilis fiat per 97, numeri ^c et y ex sequenti tabula desumantur 



X 



i:. 1- i;: 



y 





1, 33, 22, 47 



2, 31, 44, 3 



4, 35, 9, 6 



5, 29, 13, 41 

 10, 39, 26, 15 

 46, 13, 42, 28 



ita casus simplicissimus est 5^-h7^. 



Ut formula x^°— 1 dividi queat per ll^, valores ipsius x erunt 



1, 124, 596, 699, 161. 

 Cum enim 3^— 1=2.11^ ponatur z = i~^ii^y, eritque z'— 1 =2.11--+-5.3*. ll^y-i- etc. quod divisum |)er 



■8, 27, 18, 12 



16, 43, 36, 24 

 32, 11, 25, 48 

 40, 38, 7, 37 



17, 21, 14, 23 

 29, 19; 45, 30 



11* dat —-^ = 2-1-5. 3*y 



vel 1— y. Sumalur y=— 10, erit ^ = 1207 = 124 



etc. Tantum ergo y ita sumatur, ut 2-f-5.81t/ divisibile sit per U, sive 2 — 2y, 



A. ra. T. II. p. 162-164. 



saanfSi aifft) tuIbI 



c) De numeris formae x''zb: 1. 

 14. 



{Lexell.) 



Problema. Invenire numerum formae 2"h-1, qui habeat datum divisorem. 



SoLUTio. Divisor repraesentetur per simplices potestates binarii, et quotiis quaeratur sequenti modo per 

 partes; ubi tenendum est, quoniam tandem omnes muiores potestales binarii in prodiicto excludi debent, si ex 

 aliquot partibus quoti prodierit productum l-*-2"-*-etc,. tum sequentem quoti partem esse debere 2^, deinde 

 lantum notelur esse 2"-»- 2^ ^2""^*. 



L. Euleri 0|>. posthuuia. T. I. 



22 



