m 



l. EULERl OPERA POSTHUMA. 



Arithmetica. 



1 = 178481 



partes quoti 

 1 



2^ 

 2^ 



2« . 

 2" 



212 



2^^ 



215 

 917 



ergo n=23 et 2^^— 1 divisibile est per 47, quoto existente 



2^ ' -f- 2^ ■* -f- 2' ^ -I- 2^ ^-1- 2" -f- 2" -+- 2^- 



{Lexell.) 

 Verum haec omnia mullo facilius atquft adeo multo generalius per sequentem methodum expediri possunt: 

 Problema. Invenire exponentem cc, ut formula 2^—a dalum habeat divisorem =]) 

 SoLUTio. Quaeritiir ergo potestas binarii 2*^, quae per numerum p divisa relinquat residuum =a; notetur 

 autem pro residuo a in genere scribi posse a-f-Ap, loco a igitur sumatur a^^p, qui numerus cum sit par ac 

 fortasse per majorem binarii potestatem divisibilis, ponatur a±p = 2"6, atque potestas 2*^~" dabit residuum 

 i, cujus loco sumatur iterum ftrtp, quod sit —2^c, sicque potestas 2^~""~^ residuum dabit c, sive c±j^>, 

 quod sit =2^(1, sicque potestas 2*~"~i^~y residuum dabit d, atque hoc modo eo usqiie procedatur, donec 

 ad residuum perveniatur = 1 , quod cum sit residuum potestatis 2°, evidens est uUimum exponentem 



x — a — 3 — Y — d — etc. esse debere = 0, 



;a.'>iGWa"!ii'.: 



consequenter habebitur . a^^a-*- (3 -h-y -i- 8-+- etc. 



Tota haec operatio sequenti modo commode disponetur: Pro divisore =p 





potestates 



2" 



2^ — a 



2«'- «-/3 



a—^ — y 



'm\ I9q jsuJoiip ,^iiiii uj ,.:.'i.„i i»" .'ii)j 

 6*qi oirpfte .tiaiifjb oudbR smp .tnimloq ^umin "ul 



residua 

 a 

 h 

 e 

 4 . 



sive 

 a±p = 2^b 

 b±p = 2h 

 c±p = 2yd 

 dzt:p = ^e 



jjnon^i 



>Joi»h<»'!<i ni :ifTl«'i')«ii 



^x-a-^-y-S-...^ _^j ar =a-t-/?-i-y-i-5-i-etc. 



ExEMPLUM I. Quaeratur formuJa 2"*"-*- 1 , quae divisorem habeat 641. Pro hoc divisore 



potestates 

 2* 



2^—9 



2.r— 17 

 2'^ -19 



.11 iMi.fUn l — "^ 10ir»*^"'2.r ti , 



2*" — 23 



2^ — 32 



residua 

 a=— 1 

 5 



— 159 



- 25 

 -+- 77 

 - 141 

 -i-125 

 -129 



1 



sive 



640 = 128.5 = 2'. 5 

 --636 = -2-159 

 '-^800= — 2^25 

 -1-616 = -1-23.77 

 _564=-2M41 

 -h500 = -i-2M25 

 _516 = -2M29 



512 = -4- 2M 



ergo X = 32 



