174 ^L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 



SoLUTio. Cum ergo formtila 2** -#-2^ residimm habere debeat —1, sive — l-f-Ap, ponamus potestatem 

 2^ habere residuum r, atque ejus quadratum 2** residuum habebit rr, ideoque illius formae residuum erit 

 rr-t-r. Quaeratur ergo r, ut fiat '£i=<?S" -- - 



rr-4-r = — 1-t-Ap, sive 4rr-i-ir-i-l = (2r-i-l)'=4Ap — 3, unde 2rH- 1 = >/(4Ap •— 3) ; 



X igitur ita sumi debet, ut 4Ap~-3 sit quadratum. Invento autem r quaeratur potestas 2"^ residuum habens r, 

 quod est problema superius. 



Sit verbi gratia divisor p = 19,et quadratum esse debet 76A— 3, quod fit si A=3, ergo 2r-»-l ==t:i5, 

 consequenter vel r=-*-7, vel r=.t:-8. , . . ., ., -.^ 



A. m. T. I. p. 143-149. 



15. 



(J. A. Euier.) 

 Cum sit a^P—i divisibile per 2p-t-l, si 2p-»-l fuerit numerus primus, tum velo''- 1, veloA'-»-! per eum 

 dividi poterit. Duplicis ergo geqeris_sunt potestates aP, prouti vel formula o^— 1, vel o^-i-l fuerit divisihilia 

 per 2p-f-l. - , , ; 



Theobema. Cujus generis fuerit potestas aP ejusdem generis quoque erunt omnes istae 



a^"-*^P, a*«-*-^, a^^-^P et in genere a*"'^"^^, 

 ubi a debet esse primus ad 2p-+-l et n quoque potest esse numerus negativus. 

 Praelerea vero etiam eiusdem generis erunt hae potestates 

 , ;_ , ,,,,,^; : ,. a*'»-^-:^»; a^T/TA, a^"-^-;! ?t in genere a*"^"''";:* 

 hoc autem posterius tantiun valet, si a fuerit numerus positivus; si enim sit negativus, hae posteriores potestates 

 ad alterum genus pertinent. Ratio hujus exceptionis manifesta est: si enim p fuerit numerus par, perinde esl 

 sive capiatur -i-a, sive — a; sin autem p sit impar, loco a sumendo — a, ipsa potestas fit negativa. Sicque si 

 formula {-+-a)Pz*zl fuerit per 2p-»-l divisihilis, tum (— a)/'!^! divisibilis erit. i»u*.')loq 



ExEMPHJMi "Quia 2^-»-l per 2.1-»-l =3 est divisibile, ubi a==:2 et p=l, ad idem genus pertinehunt 



hae polfestaies '•- ~ 



gi 2^ 2' 2^^ 2^' '2^^ . 2*""*-* 



deinde etiam istae 2*, 2*, 2^°, 2**, 2", 2^^ . . . 2*""*"^. 



ExamincmuvS casum 2*^ an 2*'-»-l divisibile sit per i3, sive an 2"* per 4-3 divisum relinquat — 1, quod ope 

 methodi supra expojdtae ita flei «Ind mi\tti> 



