f78 . L..EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 



in foritia vel ^n-i-l, vel 8n-4-3. Tertio divisor etiara formam habebit 19A-I-1, ubi X primo £sse debet par, 

 erit 6rio vel At=s8n, vel 8n-H2, vel %n-^ki> vel 8nH-6. Priraa dat formam 8n-i-l, quae congruit cuila priore; 

 at A:i=8nH-^2 dat 9»-i-39, ideoque A = 8n-l-2 excluditur; similiter A = 8n-f-4. dat 8n-f-5, lunde A = 8n-i-4. 

 dxditdilur; al A = 8n-4-6 dat 8n~i-3, quae valet. Duae ergo formae relinquuntur pro A, 8n et 8n-*-6; 



e*-go ex priori 19A-I-1 habentur: 1, 153, 305, 457, et ex posteriori 192-t-l: 115, 267, 419. 

 Hi autem ntimeri, rtiinores quam 419, omnes sunt compositi. 



^; Neque vero propositio supra memorata est vera, plures enim casus assignari possunt, qnibus fallit. Cum 

 enim Tmmerus prtmus 2p-i-l quoties fuerit formae 8n-i-3*, sit divisor formulae 2^-h1, ob j) = 4n-i-l utique 

 fietl potest, «t p sit numerus primus; iis ergo casibus etiam formula — r — divisorem habebit 8n-i-3, hoc itaque 



o 



evenit, quoties tam 4n-*-l quam 8n-i-3 fuerint numeri primi, cujusmodi casus sunt: 



5 , 29, 41 , 53, 89 



Hll^, 59, 83, 107, 179. 



^ '-^^ ^V^^vW W. , A.m.T.I.p.217. 



.m .618 .€*S-H£ .| -i .r .i .A 18. 



(J. A. Etder.) 



Ut formulae aj*-i-l divisor sit 17, erit ..,.;. x= 2, vel 8, vel 9, vel 15. 



Ut ejtisdem fortmila* divisor sit 41, erit "ii .'; .^'."J".". ...... x= 3, vel 14, vel 27, vel 38, 



« 73, erit a;=10, vel 22, vel 51, vel 63, 



Vt™v;«v>mmt') (j--n Hiihiii^rfr»: tho *-|g9^ erit 1^^? .-T'! /^ /^ 3. JC:=12, vel 37, vel 52, vel 77. 



fa «mnibus scilicfet casibus, si fuerit ar = a, erit etiam Mlitihi/ik ii:* *—*».<„, 



cc = a^ et =a^ et =o' etc. ""^* -^ '"< •t«<iwJ'iJ' 



JaVU — a^ 0)^19 aiH r -- /ia -h^ iiisi. A. m. T. I. p. 201. 



d) De dimoribus et residuis numerorum quadratorum. 

 .M^.*l.l .T.iu./. 



19. 



Theorema, cujus demonstratio desiderattir. 



Si pro divisore d inter residua quadratorum occurrat rtr, tum etiam pro divisore 4nr-i-rf, si fuerit numerus 



primuS', iftter, residua quadratorum idem quoque residuum dhr occuiTet. Ita ^i sit d=7, inter residua qua- 



dralorum occurrit 2; ideoque quoties 8n-i-7 fuerit numerus primus, (eo divisore) inter residua quadratorum 



reperiatur 2 necesse est. ^ „, t-fr-Hfc^.^ : » 



*' ;; •' hC ~"i.. .ni ?r?» t/ • — ~ — ■-. uiimo'] 



Ratio in eo quaerenda videtur, quod si 8n-i-7 estnumerus primus, tum numerus residuorum semper esf. 



4n-i-3, dum si non fuerit primus, multitudo residuorum multo est minor: scilicet pro 8n-i-7 = 15, multitudo 



residuorum non est'7, sed tantum 5. 



'10 .^Wp A. m. T. I. p. 210. 



., ■ ■ ;^' - * ■ 20« 



,JM 0?|1'» «^'''''TfeErOiftEiMAtA DEiWOlVSTRANDA. 



'^"''''^ I!"Si "pcfhumerum ^)rimum 4n-4-l omnia quadrata dividantur, inter residua occurret non solum ipse nu- 

 »v>» '»,1 inrej.us n, sed e^tiam omnes ejns divisores et quidem singuli utroque signo affecti. 



II. Si per numerum primum 4w — 1 omnia quadrala dividantur, inter residua non solum occurret ipse nu- 

 merus n\, sed eHam omnes ejus divisores signo -♦-aiTecti; iidem enim signo — afTecti erunt non-residua. 

 Haec duo theoremata ita generalius j»roponi possunt: Denotante i numerum imparem quemcunque, 

 o»«Vt'\^Ii*isji4>er numerum primum k-n-+-ii quadrata dividantur, inter : residua occurrent omnes divisores numeri n, 

 ^i/iid-i . tam signo -Hh .quam signo — aflecti-«j ^gf^ j ^,,^,,^ ej., uivi aif.iip /18«^* 



X^ . ... 



