Fragmenta ex Adversariis depromla. 179 



GoROLLARiuM. Hinc si 4n-i-n est numcms primus et d aiiquis divifior oumeri n^ «emper dari poterit 

 fomiula xactizdfyy per illum numerum tn-fr-«i divisibilis. t-^iU nvfpwthi ,£*-*-qF. (^r .^-|i»^£':= j.t 



II. Si per numerum primum 4-n — ii quadratft dividantur, inter residua occurrent (mmefi divisor6s numeri n 

 positive sumti, iidem vero negative «umti erunt non-residua. _-- 1 i-t.f i». -j-^^f;^^ li dcj 



CoROLLARiuM. Ergo «i d fuerit divisor quicunque numeri n, semper dabtntai' hujusmodi f(»inn1ae wx^^dyy 

 per nnmerum primum 4n — n divisibiles: contra vero nulla dabitur tali« formula scx-ih-dyy per hunc numerum 

 primum divisibili«. .' H v?: v - '^"1^^;.'- ••!• -i^-Jj-rn • '1 " — fi^'t - - ? — m* A. m. T. I. p. 2i4. ! 



21* f (nq 



Probleha. Invenire omnes numeros primos formae 4n-i-l, per quos si qiiadrata dividantur, inter reddua 



occurrat datus numerus rta. 



Solutio. Ante vidimus, si divisor primus fuerit 4ap-^-M, inter residua certo occurrere dta- Statuatur 

 ergo 4n-t-l =4ap-HM, et quja i ^est impar, ponatur t = 2c-f-l, ut prodeat, _ j. .^ ^H <> o+-c<,'>~« I ot*l 



4»rl- 1 =4«p-l-,4c*-*-4c-l-l, seu nz^ap-t-c^-i-c. i! o-ff» 



Quoties ergo fuerit n = flp-»-c*-l-c, quicunque numeri pro c et |? statuantur, tum numerus 4n-*-l satisfaciet, 

 siquidem fuerit primus. ,u,i/il) oiwunfK.i „ :£__c^^i: _ ; _ , 7j ojm 



Corollarium. Simili modo patehit^.^.^ut.^i^visori primo 4n — 1 conveniat in residuis numerus -f-a, tum 

 «umi debere n = cgj — c^rrrc. ^ 



Formula autem c^-t-c ho«i praebet numeros: 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, etc, quibus per a divisis sit 

 guo^vis residuum =r, quodvis autem non-residuum sit ^, atque sequentia theoremata obtinebuntur: 



. I. Si fuerit 4n-t-l primus et n = ap-i~r, tum in residuis quadratorum per 4n-t-l divisorum occurrunt 

 pume^i -t-a, ^ prf^oii^^®^"^ dabuntur formulae a;*-i-oy^ et x^ — ay* per 4»-t-l divisibiles; Xmn vero etiam 

 formula a*"-l quoque erit divisibilis. , », ,0 -^tnoim wri wnnmfj^ t oiu unuuy .or=:tt la cH rl-Ki^h 



II. Existente 4w-f-l numero primo, si fuerit n = ap-^qy tam in residuis quadratonim neque -i-« neque 



— a ocourret, et neHtra formula aj^^-t-ay* et a;* — ay^ neque etiam haec a^" — 1 erit divisihil^.j^er^nr;^^; puiQ 

 ergo o*" — 1 sit divisibilis, sequitur, formulam a*"-i-l fore divisibilem per 4n-i-l. p ,, . - ,.,1 >..,;i., ,>-,. -iui 



in. Si divisor primus =4n — 1 atque n = (ip — r, tum in residuis quadratorum occurrel -i-a, non vero 



— a, ideoque dabitur formula xx — ayy per 4n — 1 divisibilis, non vero xx-t^ayy; tum vero formula a*^~* — 1 

 ditisibilis erit per 4nl^'lP '''■ •'^i* . iiiiii->'i^^{>'.^ii Uj-i'> iijuiij*. Likibtu Aliib an(_uii oiJulusj niojjie »;'ij 



' IV. Si divisor primus 4n— 'IV aT' n = ap.li.0,''inter residua quadratdnim 'lidiioccurTSBlEH^ a','''sed—a, 

 iiieoqttfe dahilur formula ara;-f-oyy divisibilis per 4n— I, et jam formula (— o)*"""*'— 4, sivei a*"~*-i-l divi- 

 sibilis erit per 4n — 1. •^"'^ ^'^'"-' f'''= i'*'' ''' '' ■ ' '''''' ^^^ -^*''''- 



^' hi his autem theorematibus praecedentia fere omnia continentur, id quod sequentibus ostendamus exempli&. 

 t) Sit a^2,tnl r = et 9 = 1, unde sequitur iifdiaivrb ciuraio! Jiboiq -J—W 



piV) i. n = 2p, ideoque divisor 4n-t-l =8p-t-l ; sequentes igitur dabuntur formulae per 8p-f-l dirisibile»': 



nsp .l--j^^^2'y^',a^^2y^et2*P^-i;''-^'' ' * "»- ^^ ''''"^ riit;nwi.:! ,/i:.'u^;'ib 



p^lS: n:=^2p-t-'i, ergo 4n-i-l =8p-i^5, per quem numerum scilicet primurh heulifa^Yo^Wifflilruifa ib*-i-i^* ^t 



x^ — 2y'^, at vero 2*^"*"^-+- 1 erit divisibilis; 

 pro III. n = 2p et divisor primus 4n — 1=8;) — 1, per quem divisibilis erit formula rr*— 2y*, tum vcro etiam 

 — \*' gV^-tiiui: |ij'»irt m^liiR ni .iip »•-#- m«i ^unl .(»9ittqmi aoismiui 



^ro rV: HtniS^i-^l et divisor 4n— l±=8p— 5, sive 8p-f-3, per quem divisihiles erunt formulae at^-f-Sy* et 



