180 L. EULERI OPERA POSTHUMA. W\ AHthmetica. 



liciS)! iSiirtitarav uW r=!0, 2 et ^ = 1, ergo to ?.mnhfr ^TnofTT- > 



pro I. n=3j9-i-0, vel 3p-i-2, ideoque inn-l = 12p-rFi, 12pH-9, ubi casus posterior e«t rejiciendus, ita, 



« rionuut «it in-^-iiJ-l = t2p-f-l; per quem divisibiles sunt x^r^z^y'^ et 3*"— 1; 

 pro II. n = 3p-+-l et divisor 4n-f-l = 12p-+-5, per quem divisibilis est formula 3^"-i-l; 

 pyro'ffl. n = 3j)-l-0, 2, et divisor 4n-^l = 12p-^l, sive 12p— -9, quod sponte excidit, per quem formulae divi- 



iiii; ;m! -sibiles a?^— 3g* et 3*"'^'*!-^ 1 ;•■!■' — •.w iiiin/ircj i.u-Dfii. 



proJlY.7i.= 3p^l, hinc 4n — l = 12p — 5; formulae divisibiles x^-+-3y'^ et 3*"~*-i-l. Mi\\,Vi''^'h 



3) Sit a = 5, ubi r = 0, 2, 1 et ^ = 3, 4, sive =— 1, —2. 

 Pro I. n=5p-i-0, 1, 2; 4n-i-l =20p-Hl, (5), 9; foriAulae divisibiles a;^±5/ et 5^"— 1; 

 pro II. n = 5p — 1 , — 2 ; 4n-H 1 = 20p — 3 , — 7 ; fbrinitla divisibilis 5^"-i- 1 ; 



0mrh'^5ji'^'(f;X%''i^ — i==26p — i, (-5), —9; formulae divisibiles a?^liiV,'5*"'**'-^'<i '"""'' 

 pro IV. n = 5pH-l, 2; 4m — 1 =20p-4-3, 7, formulae divisibiles x^-i-Sy^ et 52«-*i4-f i»' *' - '»1«^ J^- 



'""'liy-^^Sit «^ier-r^^O, 2 et ^ = 1, 3, 4, 5, sive =-2, -1. • '^'^'^'" ^^"-'^ .oiiujc, 



Pro I. n = 6p-i-0, 2; 4n-»-l =24p-Hl ; formulae divisibiles x^^r^z^y^ ei ^'^"^•T; ^^ /n-+-^vT>.f = t-^»i ot>r) 

 pro II. n = 6p-i-l, 3, —2, —1; 4n-Hl =24p-H5, 13, —7; formula divisibilis G^^-i-l; 

 prb rii:'n = dp'^0,'2 bli'4n-^'l;^2f4>-^l, 9; formulae divisibiles x^^-Qy^ et 6''"-i-l? '^'»»"'* oj^ia *bi)oi;0 

 pro IV. n = 6p — 1, —3, -»-2, -h1; 4n— l=24p — 5, —13, -f-7; formulae divisib. a;*-f-6y2 et 6*^"-*4^li^ 

 tftii'notaiwiutti' eftt, unitateni hic' pei^^erafm feferri ad q, valores enim literarum r et ^ inter se aequales esse 

 debent et oporteret 1 ad r referre, ita ut pro 1 sit etiam 4n-i-l =24p-i-5, qiiod eliam confirmatur per 

 rb'6id'tibV si etiirn n = 0, pro divisore 5 litique occurrit residuum 6, utpote 1-1-5. 



Idem inconveniens occurret, quoties n est numerus par; id vero incongruum ita diluendiim videtur: Cum 

 ^•ei^divisorem 6 dividi debeant numeri 0, 2, 6, 12, 20, etc. utrinque diviso per 2, habebuntur numeri 0, 1, 3, 

 61' 10, etc. per 3 dividendi; unde manifesto oritur residuum 1 praeter praecedentia , quod ergo ex q expungi 

 debet: Ita si a = 10, primo pro r reperimus hos valores 0, 2, 6; per binarium autem dividendo insuper acce- 

 diiht ad r 1, 3, ita, ut valores ipsius r jam sint 0, 1, 2, 3, 6, ergo ipsius q^'^^'-^" i-t ii4' aJ«jJ«n> 

 *; 5, 7, 8, 9; 4r-4-l = l, (5), 9, 13, (25); 4^h-1=17, 21, 29, 33, 37, sive IT, -l^; "^i^/^^iiT^^^ 

 hic ergo etiam numerus 9 ab ^ ad r est transferendus. ■ ' ■ ~ ^^ (fi'» 



t^aui.*-^"*» filiumol otn^ ttttif jv^m ( «e .) ^ ^.^.^ ^fi-i«* BHfttrtv. 



Vera autem solutio hujus difficultatis in indole numeri a est quaerenda, quj si fuerit primus, valores pro 

 r^^ei^i supra assignati recte se habent; sin autem est compositus, valores quidem pro r oriundi recte se habent, 

 s^4,; non omnesf, per regulam supra datam reperiunlur, ^ed aliunde insuper alii accedunt. Ut enim formulsi 

 (o6)^ — 1 divisibilis sit per numerum primum 2a;-Hl, id duplici modo contingere potest: priori quando a* — 1 

 et,|i^7.T7r,l divi^onem admittunt;,,si).$n^m o*t- 1 .esV divisibile, erit etiAm {ab)^—b^'; addatur formula divisibilis 

 f—i, prodit formula divisibilis («6)'*' — 1, atque hos casus regula noslra suppeditat. Praeterea vero formula 

 (aft)iy 7r-^,1,,>^rit divisibiiis, $i istae,,<i^*f-fnl et b*'-+-l fuerint divisibiles; cum enim ex priori sequatur (aZ>)^-i-6f; 

 divisibilis, auferendo hinc 6'*'-t- 1 remanet [ab)'*'' — i divisibilis. Hinc igitur novi valores ad r accedunt, qui 

 supra ad ^ ^ perperam erant.,relfi^j„, "jrotum igitui: ,hpp argumentum accuratius sequenti modo simulque concii^- 

 nius pertractatur. 



„,, ,,Penotet,2in-i-l semper numerum primum, et supra affirmavimus, si fuerit 2»»-i-l =4ai-*-n (denotante » 

 numeros impares), tum in residuis quadratorum tam -Ha quam — o reperiri; sin autem fuerit 2m-i-l=4ai — «, 

 tum tantum ni-a in residuis occurrere; utroque autem casu, hoc est si 2m -f- 1 = 4ai zt tV, formulam 0"* — 1 

 divisibilem esse per 2m-f-l. Hujus quidem demonstralio nondum perfecta habetur, sed tamen non longe abesse 



