^v«\M>txiMnK 



Fragmenfa fx Adversariis depromfa. ^i 



vid einur. cum enim quadrata per numerum 2m-*-l dividi debeant, ul re«idua eruantur, per 2rn'4-l =4ai-4-tf 

 dividatur ipfium quadratum iV, el residuum erit — iab, ideoque eliam — ab, el quia divisor efit formae 4nH-1, 

 etiam -+-ab erit residuum. Superest igitur lantum, ut demonstretur, tam -t-a quam -r^b seor«im ipter re«idua 

 occurrere; si enim ambo es«cnt nou-residua, nihilominus productum ab foret residuum. Ad hoc dilucidandum, 

 proponalur divisor primus 2m^l =h-ab~t-{2c-i-i)^y ita ut ab certe sit residuum, quoniant hic nuihenis pln^ 

 ribus aliis modis simiiiter exhiberi polest. Statuamus 2mH-l = 4p-H(2g-t-l)', et nunc eliam p certe erit 

 residuum. Aequentur hae duae formulae inter «e, et reperiemus |?=:a6-+-<rp-#rCT-99T— 9» ui^i f pro- lubitu 

 assumere licet, sicque plura alia residua prodibunt, inter quae si occurrat alteruler numerus a vel b, etiam 

 alter certe erit residuum. Ut hoc liberius explicetur, jiotasse juvabit, inter residua primum omnia occurrere qua- 

 4rata>; deinde si occurrant niuneri a, p, y^ etc, etiam producta ex binis vel pluribus occurrent. £t si occurrant 

 numeriia et ay, etiam / occurret, et.si occurrat ay^, etiam a occurret; hoc igitur exemplis iilustremus. t u 

 ' ExEMPLtJM I. Sit a = 2, A = 2, ideoque 2«f-f-l = 16-l-(2c-»-l)^ . .w.ip n,:ifp 



'" 1) Sit c = eritque p = 4~^7 — g = 4^ (0, 2, 6, 12), hin6 capiatur p==4— 2 = 2, etgo^^ cMis^eHt 

 residuum. 

 2) Sit 2c-i-l=5, erit p = 4-4-6— ?? — ^= 10 — (0, 2, 6, 12) et sumto j=l, erit'pt=8 = 2.i, ergo 

 2 residuum «tfi«i9io?>dl wimidodBirl aiJnau urtm aiVoijp onq ! «--if 



"'"'*3) Sit c = 4 sive 2m-«-1=97, nnde p = 2h- — qq—q; sumatur q — 2, erit p=18, ideoque. 2 residuum. 

 ''" ' Exemplcm"!!. "^it a = 2 et 6= 3 et 2m-i-l = 2i-*-(2c-»-i)V Sit c=3, ut fiat 2m-Ht=^3, erffo 

 p = Q-i-i2 — qq — q=lS — qq — q; sumatur q = fit p = 2.9, ergo et 2 et 3 residua. 



ExEMPLUM III. Sit a = 3 el b = 3 et 2m-t-l = 36-i-(2c-t-l)*. Sit c = 0, ut fiat 2m-H:^ = 37, ergo 

 p =9 — gg — 5 = 9— (0, 2, 6); sumto q = 2, p = 3. Sit deinde c = 2, unde 2m-i-l =61, hiac ,:_i»-^ ;i, 

 .Ji«ot|imo mi., j» = 9-i-6-^j-?=l5-(0,2,6), ergo P= 15 - 1^;=^^^ tn^hjfi adoiq 



ExEMPLUM IV. Sit a6 = 2.3.5, ideoque 2m-i-l =8.3.5-h(2c-i-1)2. Sumto c=5, »t sit 2m-#-1=241, 

 erit p = 2.3.5-4-30 — gg — 9 = 60— (0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56). .. t 



At 60—6 dat 54 = 6.9, ergo 6 est residuura, ergo et 5,: dciiude.f =;:. 60 n- 12. dat, 48^3.16, unde 3 est 

 residuum et 2, sicque singuli factores 2, 3, 5 sunt residua.?; /'<: ,♦<: XI 1,1 ~ li ; . f f 



ExEMPLUM V. Sit 06=3.5.7 = 105, ideoque 2m-i-l =420-i-(2c-+-l)*:et sumlo c = 0, 2m-i-l=42l, 

 unde p = 105 — ? (g-f- 1^ = 105 — (0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110). 



Hinc 105 — 30 = 75 = 3.25, ergo 3 est residuum, ideoque et 35. Deinde p = 105 — 42=^63 = 7.9, ideoque 

 7 residuum ut et 5; sicque singuli factores sunt residua. ,ti.— i i-c;» ) 



Hinc ergo tuto concludi posse videtur, quotcunque etiam factores habeati prodhctufrf $b, singulos semper 

 quoque inter residua occurrere, quod idem simili modo de altera forraa 4ai — (2c-*-l)* ost^nditur; posito enim 



4a6 — (2c^l)*=4p — (25'-h1)'^» ent p=^ab— cc— c-t-qq-^q,\'. i 

 ubi p certo est residuum. hq^-I 



ExEMPLUM I. iSit ab=2.2, 2m-i-1 = 16 — (2c-i- 1)*, sumto c = l, 2m-i-l=7, ei^o 



.te ,^;p = 4 — 2-1- 99-1-9 = 2 -f-99-*-9,i^ t«i =l-fr-i)ij 

 unde si 9 = 0, patet 2 esse residuuih. . ,^(1' Xl ,i/L ,11: X'k ' " ^l^-*-'''^... 



ExEMPLUM II. Sit a6 = 2.3 = 6, erit 2m-f-li=24 — (2c-|i-1)*f posito c = 0,' 2*n^4 =23, ergo 

 l> = 6-i-99-*-9=6-i-(0, 2, 6, 12, 20), unde p = 6-f-2 = 8 = 2.4, „, „.. , 

 ei^o 2 residuum, ideoque et 3, sive p = 6-i-6 = 12= 3.4, ergo 3 residuum. -i-^^* J 



ExEMPLUM III. Sit 06 = 2.2.3.5 =60 et 2m-f- 1 =240 — (2c-f-1)S posito 



c = Ov 2m -H 1 = 239, unde p = 60 -i- (0, 2, 6> 12, 20, 30, 42, etc). ' 





^l. 



