Fragmenta ex Adversariis depromta. \ 183 



Geminas has series pro quovis numero primo a facile in infinitum conlinuare licet, eas putem in periodoa 

 distinYimus, quarum prima continet numero« formae ifMrl, minores quam ia, secunda periodus continet eosdem 

 numeros H-ia. Tertia continet numeros secundae periodi -i-4a et ita porro. 



Hinc igitur pro casibus, quibus a est primus, judicare licet, utrum formula a"*"-!. an a^r+-l per nume- 

 rum primum 2m-t-! sit divisibilis; prius «cilicet evenit, quoties fuerit 2m-f-l =4aA±(4r-4-l), posterius vero 

 quolies fuerit 2m-+- 1 = 4aZ>± (4^-^-1). Circa has series notari oportet, in qualihet periodo contineri — ^ 

 terminos, ita ut in ordine 4o-*-l totidem sint termini quot in 4r-i-l; deinde omnes termini ordinis 4r-f-l vel 

 ipsi sunt quadrata, vel tales, ut 4r-i-l-*-4a» fieri possit quadratum. Contra vero numeri 4^-f-l omnes ita 

 fiunt comp^ati, ut formula 4^-f-l -f-Aan nunquam fieri possit quadratum, quicunque numerus pro n capiatur. 



Problema. Nunc videamus, quomodo judicium institui debeat, quando numenis a hahet factor^, scilicet 

 tum etiam investigemus tam terminos 4r-f-l quam 4^-hI tali numero a convenientes. 



.V i l.ii . '«♦ .t*. ..." 



SoLUTio. Sit a = fg et f ei g numeri primi. Quaerantur primo pro f numeri tam formae 4r-i-l quam 

 4^-1-1, qui ita designentur ^{h-r-t-l) et ^(4^-f-l), eodemque modo pro numero gr habeantur formulae ^(4r-f-l) et 

 *^(^"*~^)» quo facto excerpantur omnes numeri hinis formulis ^(4r-f-l) et ^(4r-f-l) communes, cujusmodi sit P, 

 et ex praecedentihus patet, si divisor fuerit h-fp±P = 2m-i-l, tum formulam /""' — 1 fore divisihilem per 2m-+-l. 

 Simili modo pro divisore 2m-t~l = h-gq±P formulam g^ — 1 esse divisihilem. Fiat nunc p:=gn et q=:fn, ut 

 prodeat communis divisor h-fgnz^zP, per quem amhae formulae /"'" — 1 et ^"' — 1 erunt divisihiles, unde sequitur, 

 quoque formulam {fg)"* — 1=^"*— 1 fore divisibilem. Praeterea cum (f" — 1 quoque sit divisihile, si tam 

 /■"'-f-1 quam g"'-i-i dividi queant, id quod evenit, si ex ordinihus f{h-Q-^i) et ^(4^-f;l) termini communefi 

 excerpantur, quam ob rem pro numero proposito a=fg ordo 4r-f-l primo continehit omnes terminos communes 

 ordinum /(4r-i-l) et ^(4r-Hl), praeterea vero etiam terminos communes ordinibus /(4^-f-l) et ^'(^^-f-l). Reliqui 

 ¥ero numeri formae 4»-f-l hic non occurrentes ad ordinem 4^-f-l sunt referendi, ubi ergo occurrent primo 

 termini communes ordinihus f{h-r-t-i) et ^(4^-f-l), tum vero etiam communes ordinihus ^(4r-f-l) et ^(4^-1-1)^ 

 hoc igitur modo pro numero a = fg facile colligentur numeri ordinis 4r-f-l et 4^-i-l. 



GoROLLARiUM 1. Si fuerit g = ff,itaL ut a fiat quadratum =ff, tum pro ordine 4r-i-l omnes plane nu- 

 meri ordinis 4n-*-l occurrent, alter vero ordo 4^-f-l plane manehit vacuus, id quod etiam inde manifestum 

 est, quod si a fuerit quadratum =ff, semper formulam a'" — i=f^'" — 1 esse divisihilem per numerum 2m-i-l. 



CoROLLARiUM 2. Sin autem factores f et g fuerint dispares, ex praecedentihus ordinihus serierum facile 

 pro quovis numero a = fg termini utriusque ordinis colligentur, quemadmodum ex sequentihus exemplis patebit. 



ExEMPLUM I. Sit a = 2.3, ideoque 4a = 24, et terminus communis ordinum ^(4r-f-l) et '(4r-f-l) est i 

 cum sequentibus 25, 49, 73, 97; at vero terminus ordinihus *(4^-h1) et^(4^-f-l) communis est 5, unde in primo 

 ordine tantum occurrunt 1, 5, at pro ordine (4^-f-l) terminus cofnmunis ordinibus *(4r-»-l) et '(4^-h1) est 17, 

 ordinibus autem '(4r-*-l) et ^{h-q-i-i) communis est 13. Qui ordines ita referantur 



25, 29, 49, 53, 73, 77, 97, 101 

 37, 41, 61, 65, 85, 89 



(4r-Hl = 1, 5, 

 a = 6, 4a = 24^ 



\4^-Hl = 13, 17, 



ExEMPLUM 2. Sit a = 2.5 = 10 et 4a = 40. Hic termini communes ordinum *(4r-i-l) et ^(4r-f-l) sunt 

 1,9, at termini communes ordinum ''(^^-t-l) et *(4^-i-l) sunt 13, 37. At pro ordine 4q-*-1 sunt termini 

 commimes *(4r-f-l) et ^(4§-f-l), 17, 33, at ordines ^(4r-Hl) et *(4^-*-l) commnnes habent 21, 29, unde fit 



4r-f-l= 1, 9, 13, 37, 

 10, 4a = 40{ ' 



\ 4(>+-l =47, 21, 29, 33, 



41, 49, 53, 77, 81, 89, 93 

 57, 61, 69, 73, 97 



