186 L. EULERl OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 



{N. Fuss /.) 



Theorema. Haec formula a;*"-*- a;"-i- I semper est divisibilis per xx-t-x-t-V, dummodo n non sit mul- 

 tiplum lernarii. 



Demonstratio. Si enim illa formula multiplicetur per x''—l, productum x^"—i semper est divisibile 

 per-a;^— 1, ideoque etiam per xx-¥-x-^l; quia ergo multiplicator a?"— 1 non eSt divisibilis, necesse est ipsam 

 formulam esse divisibilem. Q. e. d. 



Theorema. Haec formula a7*"-i-a;^''-i-a;'^"-4-j5"-4-l semper est divisibilis per x^-t-x^-t-x^^-^x-t-i, dum- 

 modo exponens n non fuerit multiplum ipsius 5. 



Demonstbatio similis praecedenti. 



Theorema. Si capiatur angulus =(— ^j360°, haec formula a;^"— 2a;'*cos^-i-l semper est divisibilis 

 per hanc a;a? — 2a;cos^-f-l, A. m. T. I. p. 285. 



26. 



Throrema, cujus demonstratio etiamnunc desideratur. Si haec formula h-mnk-\-maa-*-nbb fuerit numerus 

 primus, puta P, tum semper assignari possunt numeri a; et y, ut fiat mxx-¥~nyy=P. 



Sit m=:3, n = 2, a=l et fc=l, erit maa-i-nbb = 5 et 4mnft-f-5 = 24ft-4-5. Sumatur A = 2, erit 

 JP=53 et esse debebit 3xx-i-2yy = 53, sit x=:i et t/=5. Plerumque quidem tales numeri pro a; et y 

 dantur integri, interdum tamen non nisi fractos assignare licet, veluti si fuerit w = 7 et n = 2, praeterea vero 



a = l et 6=1, ita ut sit /* = 56ft-H9, unde sumto ft = 4. fit i* = 233, qui mimerus iij integris esse nequit 



5 175 1922 961 31 



= 7xx~t-2yy. At si capiatur x = -^9 erit 233=-^ -i-2yy, ergo 2yy = —^f ergo y*= -— et i/ = — -• 



u 9 9 9 3 



A. m. T. I. p. 300. 



27. 



Theorema. Non dantur tria biquadrata, quorum summa esset divisibilis vel per 5, vel per 29, quae 

 «ola excipiuntur. A. m. T. il. p. 161. 



28. 



Observatio. Proposito quocunque numero primo jp = 2n-i-l, omnes numeri eo minores, qui sunt 

 1, 2, 3, 4 . . . 2n, semper tali ordine disponi possunt, ut certis multiplis ipsius p aucti, progressionem geome- 

 tricam constiluant, sive tales assignari possunt numeri x, ut progressionis geometricae 1, x, x^, x^, x*. . . .x^"^ 

 s\ singuli termini per p divisi deprimantur, omnes numeri ipso p minores prodeant, uti ex sequentibus exemplis 

 patebit. Notetur autem potestatem x^^' hoc modo semper dare unitatem , propterea quod a;^" — 1 semper per 

 p dividi potest, unde sequentes potestates x^"-*~^, a?*""^*, a;^""*"', etc. eosdem reproducunt numeros, uti 

 ab initio. 



I. Sit p = 3 et n = 1 et progressio geomelrica erit i, x, xx. Sumto ergo x = 2, progressio geometrica 

 erit 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, etc. 



II. Sit j> = 5 et n = 2 et progressio. geometrica 1, x, x^, x^, etc. Hinc sumto x = 2 habetur 

 . 1, 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 1, etc. 



sumto autem a; = 3, erit ea 1, 3, 4, 2, 1, 3, 4, 2, 1, etc. 



III. Sit p = 7 et n = 3, erit progressio 1, x, x^, .x^, x*, etc. Hinc sumto x = 2, erit ea 1, 2, 4, 1, 

 mnde patet hinc tantum terminos pares oriri, unde x ita sumi debet, ut fiat xx-^2 = lm, ideoque x = 3, et 

 progressio geometrica erit 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, etc. Loco x autem etiam sumi posset alia potestas x^. 



