188 



L. EULERI OPERA POSTHUMA. 



Arithmetica. 



1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, U, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10 



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 



Loco X autem qnoqiie sumi possunt numeri potestati x respondentes, si modo A ad 18 fuerit primus. Cum 



autem 18=2.3*, multitudo numerorum ad 18 primorum est 6 et valores pro A sunt 1, 5, 7, 11, 13, 17, unde 



pro X sumi possunt hi numeri 2, 13, H,|lO, 3, 15, unde sex progressiones geometricas formare licet , quarum 



tres erunt priorum retrogradae. 



ExEMPLUM. Sit p = 41 et n = 20, et sumatur x = 2, unde progressio geometrica oritur 



1, 2, 4, 8, 16, 32, 23, 5, 10, 20, 40 

 1234 5 67 8 9 10 



unde pro x"^^ prodit -+-1, ita ut sit 2*°=-i-l, unde patet esse xx = 2, ideoque a;="/(2-i-41»n) = 17 (posito 



m = 7). Factum hinc est sequens schema: 



41) 



30 



18 



19 



36 



38 



31 



35 



21 



^29 

 1 



" Jam ad 40 valores ipsius X primi sunt 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39, 

 unde pro x accipi poterunt sequentes numeri: 17, 34, 13, 26, 11, 22, 6, 12, 24, 7, 28, 15, 30, 19, 35, 29. 



Si sumsissemus o; = 3 , prodiisset progressio 



1, 3, 9, 27, 40, 



12 3 4 



3 

 «equeretur 3* — x^°, ergo 3 = x^. Supra autem invenimus esse 2 = x^, ergo 4 = a?*, unde oritur ar = —5 



3-4-41m 



4 



= 11. Cum igilur formula a*° — 1 semper dividi queat per 41 h. e. si fuerit a = x^, deno- 



fiive X. 



tante X numero quocunque, ista formula b^° — 1 dividi poterit per 41, si fuerit 6 = aa, h. e. si fuerit 6=a;*^. 

 Quoniam igitur a**'— 1 = (a*"— 1) (a*°-»-l), prior vero factor a^°— 1 divisibilis sit casibus a=x'^'^, sequitur, 

 reliquis casibus, h. e. casibus a = a;* ~*~^, formulam a*°-i-l divisibilem esse per 41, h. e. si fuerit 



a=17, 34, 27, 13, 26, 11, 22, 3, 6, 12, 24, 7, 14, 28, 15, 30, 19, 38, 35, 29. 

 Porro quia a'**— 1 divisibile per 41 si a^x"^^, erit ft'°— 1 divisibile per 41 si b = x*'^; hinc sequitur for- 



Porro a^ — 1 divisibile per 41 si a = x^^. At a* — 1 



x' 



io>t „^„^ ^4_^| divisibile per 41 si a=x\ x^\ ar", x^^, etc. h. e. si a—^-^^^-*-^ 



mulam i^^^-j-l divisibilem esse per 41 si 6 — ,y.*^-t-2 



divisibile per 41 si a = x^°^, ergo a 



Consequenter formula a*-i-l divisibilis per 41 his casibus: a = 27, 3, li, 38. Porro quia a* — 1 divisibile per 



41, si a=x^°^, et a*— 1 per 41, si a=x^°^, sequitur fore a^-^-l divisibile per41, si a fuerit a;'°'*"'"^°, qui 



casus sunt a= 32 et 9, hoc est in genere si a = 41mdb9. [ A. m. T. II. p. 170. 171. 



29. 



Rbgula facihs explorandi numeros formae i-m-t-^i, qui desinunt vel in 3, vel in 7, utnim sint primi, nec ne? 



Sit iV talis numerus, et a 2iV subtrahalur quadratum proxime minus, desinens in 5, cujus radix sit 5n, 



«itque residuum =R. Ad hoc continuo addantur numeri 100(n— 1), 100 (n— 3), 100(n — 5), 100(n — 7), elc. 



