190 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 



II. Si p, q, r, s, etc. fuerint primi inter se diversi, fueritque « = &V — * erit {e^-~a)::pq. Porro «i 

 « = 6<y~ ^^ <'*~'*^ erit [aP-^ay.-fqr et ita porro. 



III. Si fuerit tam («'"— i/^)::i» quam {aj"— t/")::/», sitque m>n, erit quoque (af"'-"—y'" -")::/», ubi 

 quidem a; et y sint riumeri inter se primi. 



Demonstratio. Posterior formula ducta in x"^~" a priore subtrahatur, erit residuum 



quod et^o etiam est divisibile per P, et quia y" non est divisibile, necesse est ut («'"""" — y"*~")::P. 



IV. Si ut ante tam {x"*—y"')::P quam {af—y'*)::^ atque inter numeros m et n maximus communis di- 

 visor fuerit A. tum etiam {x^—y^)::P. 



Demonstratio. Ponatur m=/*i et n~vd, et quia 4 est maximus communis divisor, erunt /t et r primi 



inter se. Dari igitur poterunt numeri a et /3, ut sit afi — liv = i. Hinc igitur quoque erit {x*^ — y^"*)::P 



similique modo (a?/^" — y^"^)::P, unde per praecedens theorema erit (a;"^~/^" — y^"^~^")::P. Est vero exponens 



am — /Jn=a/t4 — ^vA = A, consequenter erit {x^—y^)::P. 



nmvih^V A.m.T.III.p.174.175. 



B. Partitio numerorum in summas polygonalium. 



32. 



UMVU ' ^ ■ 



(Leonard Etder.) 

 Caractere general pour juger, s/ un nombre entier quelconque N est somme de trois triangles, tous les nomhres 

 plus petits etant tels. 

 Soit N — A un nombre moindre quelconque qui soit egal k ces trois triangles: Ap^Aq^Ar-, ensuite, pre- 

 nant pour a et i des nombres quelconques et posant A=ab, s'il arrive que p — q, ou p — r, ou q — r soit 6gal 

 k a — b, alors le nombre propose N sera somme de trois triangles, et iin seul cas de a et 2» suffit pour cela. 



{Lexdl.) 



Demonstration. Ayant pose iV — ab=Ap~i-Aq-^Ar, soit p—q=a — b, et pour cet effet mettons|)=a;-i-a 



et q=x-t-b, de sorte que N — ab=A{x-t-a)-i-A{x-i-b)-h-Ar. 



Alors je dis quon aura N=A{x~t-a-t-b)-^Ax-h-Ar; 



. , ,. xx-^2(a-t-b)x-i-(a-^b)^-t-x-t-a-t-b 

 car puisque J (a? -i- a -h o) = ^^ ~ j 



on aura iV=^(aeflc-+-2(a-4-6)a;-i-(a-f-6)*-i-a*-i-aHf-6) h ^ \-Ar. 



Mais la premiere formule donne 



N— ab = ^ " 2 t-Ar 



ce qui etant 6te de celle-U donne ab=ab, ce qu'il fallait demontrer. 



CoROLL. 1. Puisque p~—q=a — b et p=x-i-a et q=x-^b, on aura 



x=p — a=q — b, donc x-i-a-*-b=p-+-b=q'^a; 

 par consequent, des qu'on aura 



N—ab=Ap-*-A{p'—a-t-b)'+-Ar, il sen «uit N=A{p-i-b)-i-A{p — a)-i-Ar. 

 CoROLL. 2. Qu'on prenne b=a, et des lors il arrive, que N-^aa=Ap-i-Ap-t-Ar, c'e8t k dire que si deux 

 de ces triangles sont egaux entre eux, on en deduira 



N= A (p-i-a) -1-4 (j) — a) -f- Ar. 

 ExEMPLE. Prenons JV=17 et successivement a=1, 2, 3, 4, etc. nous aurons 



