192 



L. EULERI OPERA POSTHUMA. 



Arilhmetica. 



Inde pro /^ «equenle* oriuntur valore« d = —2, — 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 



0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 



2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 



6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 



12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 



Unde pro diversic valoribus ipsius p resolutio numeri N in tres trigonales succedet , si fuerit pro numeris minoribu« 



tum erit et 



x = a — 1 y = b~i-i 



x = a—i T/ = 6-i-l 



a; = a — 2 y = b-t-2 



x = a—i t/ = fc-f-l 



x = a — 3 y = b-¥-Z 



x = a — 1 y=:b-t-i 



x = a — 2 y = b-^2 



x=:a — 4 y=:b-t-i 



His posilis ambarum x et y inventio succedet, s\ inter ternas radices a, b, c, primo pro numero N — 1 fuerit 

 b = a, sive si duae fuerint aequales. Secundo si pro numero N — 2 fuerit vei 6 = a-f-l, vel b = a — 1, hoc 

 e«t si differentia fuerit inter binas = 1 , tum vero duplex solutio locum habebit. Tertio si pro N — 3 fuerit 

 vel b = a-^2, vel b = a — 2, hoc esl si binae radices binario discrepent. Quarto si pro numero N — 4 fuerit vel 

 i=a-f-3, vel b=a, vel b=a — 3, hoc est si differentia inler binas radices fuerint vel =0, vel =3, Quinto si pro 

 numero N — 5 fuerit b = a±h- h. e. si differentia inter binas radices fuerit =d=4. Sexto si pro numero iV — 6 

 fiierit vel b=a±5, vel b=a±i, hoc est si inter radices binas occurrat differentia vel 1, vel 5. Quamobrem 

 si demonstrari' posset, semper unum saltem horum casuum locum habere debere, tum demonstratum forct, 

 omnes numeros esse siimmas trium trigonalium. Quod cum de minoribus numeris certum per se sit, pro ma- 

 joribus autem continuo phires casus examinandi occurrant, eo minus dubitari potest, quin resolutio semper sit 

 locum habitura, idque plerumque pluribus modis, quo accedit, quod pro majoribus numeris fere omnes numeri 

 N — p pluribus modis in tres trigonales resolvi possint. Quod quo clarius pateat has resolutiones ab ipso initio 

 numerorum secundum temas radices contemplemur: 



radices 



vel radices 



Hinc ergo examinemus numerum iV=13 et habebimus 



a, b, c 



numen 

 1 

 2 

 3 

 4 

 5 

 6 

 7 

 8 



10 

 11 

 12 



a, b, 



0, 0, 



0, 1, 



1, 1, 1 



0,. 1, 2 



1, 1, 



0, 2, 



1, 2, 



1, 1, 



2, 2, 

 0, 0, 

 0, 1. 

 0, 3, 



2, 2, 3 



