Fragmenfa ex Adversarits depromta. 193 



pROBLEMA. Si omnes numcri minores quam iV fuerint summae quatuor quadratorum, ipsum numenim iV 

 in quatuor quadrata resolvere. >itqt tviq i>i'»y 



SoLUTio. Sint pro numero quocunque minore N—p quadratorum radices a, b, f, g, unde pro numero N 

 statuantur radices x, y et f, g, ac ponatur x=a-^a et y=h-¥-§, eritque ab hoc N—p subtraclo 



p = 2aa-*-aa-*-26/5 -*-/?/?. 



Jam sumatur a=—n et /3=-i-», ut fiat p=2n(6 — a)-4-2nn; quare si fuerit i=a-+-rf, habebiturp =2 (m/-Hnn), 

 qui numerus duplo major cst quam casu praeccdente, pro numeris trigonalibus; undc eadem criteria locum ha- 

 bcbunt, quac ante, si modo numcrus p duplo major capiatur. Ita rcsolutio numeri N — p succedet 

 si pro numero N — 2 fuerit 6=a tum erit x=^a — 1, y=.b-i-\ 



N—k b=a-k-\ x=a—\, y=b-\-\ 



iV— 6 b=a-t-2 



N—S b=a-t-3 



b=a 

 N— 10 6=aH-4 



etc etc. 



llllfiOIii^ 



Hic ergo patel, pro hoc casu numcrum criteriorum essc dnplo majorem quam casu praccedente: Venim quia 

 hic quatuor occurrunt radices, etiam hic muUo probabilius cst, inter qualernas radiccs occurrerc duas, quarum 

 differentia sit vel 0, vel 1, vel 2, vel 3, vel etc. Quin ctiam pleriquc numeri pluribus modis in quatuor qua- 

 drata resolvi poterunt, unde hoc judicium aeque certum esse potest ac praecedens. 



Problema. Si omnes numeri minores quam N fucrint rcsolubiles in quinquc numeros pentagonales, ipsum 

 numerum N in tales partes rcsolvcre. 



SoLUTio. Sint pro numcro N—p radices quinque pentagonalium a, b, f, g, h, unde pro ipso numero iV 

 statuantur quinque radiccs x, y, f, g, h, ac ponatur x=a-\-a ct y=b-\-^, eritque 



^xx — x /Saa — a\ Qaa-t-daa — a Syy — y /Sbb-a\ 66/3 H- 3/3/3 — /3 



t — x /3aa — a\ 6aa-t-daa — a Syy — y /3bb — a\ 



^2 \^J-~ 2 ~"2 \^~) 



A it * 9 3aa-a 3/3/3 -^ 



unde fiet p = 3aa h H 30|5 -l- ■ 



.n'> 'iif)i«i II ;i'>;it,m .•iu!/r. 



Sumatur nunc a= — n et (3=-t-n eritquc p=3n(i — a)-i-3nn; quarc si fuerit J=a-l-rf, fict p=3(nrf-i-nn), ita 



ut hoc casu p sit triplo majus quara pro trigonalibus, unde cadem criteria locum habcbunt, si modo ipso p 



valor triplo major tribuatur; hinc igitur resolulio sempcr succcdet 



si pro numero N — 3 fuerit b=:a 



iV— 6 J=aH-l 



iV— 9 6=a-f-2 '■''■'■■ 



l &=a-i-3 

 iV-12 < _ 



ex quibus criteriis, si unicum tanlum locum habuerit, re^oTutio numeri iV certc succedit. Hic qtUdem triplo 

 pauciora habentur criteria. V^erum inter quinque radices reperientur binac, quarum differentia sit vcl 0, 

 vel 1, vcl 2, vel 3, etc. Praeterea vcro etiam plerique numcri multo pluribus modis in quinque pentago- 

 nales resolvi possunt. 



Problema GENERALr circa niimeros polygonales quoscunquc, quorum laterum numerus sit = ;r. 



Si omnes numeri minores gtrnm N resolvi queimt in n numeros polygonaks, etiam ipsum numerum N in talis 

 resolvere'. 



L Ealeri Op. posihnma. T l. ^«' 



