194 . L. EULERl OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 



SoLUTio. 6int pro numero quocunque minore, N — p, radices polygonalium a, b, f, g, h, i, k, etc. Tum 



vero pro ip«o numero iV radices x, y, f, g, h, i, k, etc. Sit autem in genere x=^a-i-a, t/=6H-/?, et quia 



radicis cc numerus polygonalis est 



* 1 1 



posito x = a~i~a, iste numerus polygonalis erit 



1 111 



— (tt — 2) oa-f- (--T — 2) a« -i- -^ (tt — 2) cta — ■— (;r — 4.) a — -^ (;r — 4) a , 



unde si subtrahatur polygonalis ipsius a, remanet 



1 1 



(tt — 2) aa -H — (tt — 2) aa — -— (tt - 4) a ; 



hinc ergo si N—p ab iV subtrahalur, relinquetur 



(.Tr-2)aa-i-|-(7r— 2)aa — |-(;r — 4)aH-(7r-2)6/?-*--if7r-2)/?/?— ^(;r — 4)^. 



Sunuitur nunc a= — n et /?=-i-w fietque p=n{7V — 2) (6 — a)-i-(7r — 2)nn; quamobrem si fuerit 6=a-f-rf, erit 



p = n{7r — 2) d-h-{7r — 2) nn = {7V — 2) {nd -h nn) , 

 ideoque 7^ — 2 vicibus major quam pro numeris trigonalibus ; quocirca criteria ita se habebunt: 

 Si pro numero N — {tt — 2) , fuerit b = a 



iV-2(7r-2), 6 = aH-i 



iV_3(7r — 2), b = a-+-2 



b = a-+'i 



iV-4(7r-2j, 



b = a 



etc. etc. 



Nisi ergo omnia haec criteria fallant, numerus N certe in tt numeros polygonales resolvi potest. Pro theoremate 



igitur Fermatii demonstrando requiritur, ut demonstrelur, fieri omnino non posse, ut omnia plane haec cri- 



teria simul failant. 



ScHOLiON. Quemadmodum haec criteria deducta sunt ex consideratione binarum radicum x et y, cuin 



binis datis a et 6 coUatarum, ita eliam simpliciora criteria exhiberi possunl, si unica radix x cum a compa< 



retur, manente y = b. Tum igitur erit 



1 1 



p = {7r — 2)aa-^---{7t — 2)aa — -— (.t — 4)a; 



quare si capiamus a = 0, fiet 



1 i 



p = -^{7v — 2)aa — -(;r — 4)a. 



Quod si ergo pro numero unico JV — p occurrat unica radix = 0. resolutio etiam certe succedet. Quocirca dispi- 

 ciendum erit, num pro aliquo horum numerorum ipso iVminorum: 



iV— 1, N^Tv, iV— (Stt- 3), iV— (67r — 8), iV— (IOtt- 15) etc. 



inter ejus radices una occurrat =0 Quod si semel tantum evenerit, numerus iV certe resolutionem admittet. 

 Sin autem hoc criterium unquam succedat, tum demum superiora criteria examinari poterunt. 



ScHOLiON. Talia criteria possunt etiam derivari ex comparalione ternarum radicum x, y, z, ponendo 

 x = a-4-a, y = b~\~^ et z=^c~¥-y, tum enim erit 



1 1 



p= (n: — 2)(aa-i-6/?-f-cj')-*- — (7r — 2) (aa-i-/?|5-i-]7) — -- (7r — 4) (a-H /3 -♦-/), 



unde si sumatur a-i-/?H-y = «imulque fuerit aa-i-6/?-Hcy = 0, obtinebitur 



p = -^ (7r — 2) (aa -H /?/5 -H yy) . 



