Fragmenla ex Adversartts dcpromta. 195 



Gum autem «it y=—a--^y erit aa-i-6/? — ca — c/? = 0, unde fit 



0a -4-6/3 . 



c = j- ; tum igi(ur erit p = {7i — 2) (aa-f-a/3-f-/?/?) ; 



qnam ob rem, «i pro numero iV— j) inter ejus radices, quarum numerus est tt, tres repenantur a, b, c, ila 



comparatae, ut sit c= -^y tum resolutio certe succedet. Sumatur ex. gr. a=n et /S=n, eritque c=^^t 



sive a-+-b=2c, vel o = 2c — 6, ex qua condilione sequilur, numeros b, c, a esse in progressione arithmetica, 

 quia hinc fiet c — 6 = o — c. Quare si pro numero iV— p = iV— 3nn (:/r — 2) inler ejus radices temae sint in 

 progressione arithmetica, numerus N semper erit resolubilis. Similique modo multitudo criteriorum pro lubitu 

 augeri poterit, quorum si unicum successerit, resolulio numeri iV locum habebit. Totum ergo negotium huc est 

 reduclum, ut demonstretur , nunquam fieri posse, ut omnia ista criteria simnl fallant. In quo negotio imprimis 

 erit perpendendum : in omnibus numeris minoribus N — p omnes plane combinationes radicum 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc, 

 quarum quidem numeri polygonales sinuil sumti numerum N non superant, occurrere; unde demonstrandum 

 erit: fieri non posse, ut in omnibus his combinationibus omnia nostra criteria simul fallant. Tum vero etiam 

 hoc erit perpendendum, in numeris minoribus pro N assumtis resolutionem semper locum habere, ita, ut de- 

 monstratio tantum pro majoribus numeris sit suscipienda; ubi non solum numerus criteriorum major evadet, 

 sed etiam numerus omnium combinalionum. Quodsi enim nostra criteria unquam fallerent, id maxime metuen- 

 dum foret in numeris minoribus. 



Aliud tentamen in theorema Fermatianum inquirendi. 

 Sit series numeronim polygonalium 0, 1, A, B, C, D, etc, ac posito numero laterum =h-i-2, cril 

 ^ = n-4-2, 5 = 3n-i-3, C=6n-i-4, Z)= lOn-f-5, £= 15nH-6, F=2ln-t-7, G = 28n-i-8, etc. 

 et in genere pro radice x numerus polygonalis 



= — nxx — — (n — 2) ar. 



Quibus positis videamus, quot numeris hujus seriei opus sit ad singulos numeros producendos. Ac primo quidem 

 ab 1 usque ad A quilibet numerus iV, minor quam A, componitur ex N unitatibus, unde pro numeris ab 1 

 ad A ad summum opus est A. Nunc ad intervallum ab ^ ad 5 progrediamur, et quia ^-f-1 constat ex duo- 

 bus, A-h-2 ex tribus, A-^3 ex quatuor, usque ad A-t-n~^-t qui est primus qui postulaL n-*-2 partes, prae- 

 cedentes vero omnes ex paucioribus constant; est vero .4-i-n-i-l =2n-t-3, unde videtur sequentem numerum 

 2n-i-4 requirere n-i-3, quia autem est 2n-i~h-=2A, hic numerus lantum duos postulat; sequens igitur 2n-i-5 

 postulat 3, 2n-H6 postulat 4, 2n-i-7 postulat 5 etc. et 2A-h-n postulat »h-2. Est vero 2^H-n=3n-»-4 ; at 

 vero hic numerus est 5-1-1, ideoque tantum postulat duos; unde patet usque ad B unicum esse numerum sci- 

 licet 2n-i-3, qui n-i-2 parles postulat, omnes reliqui pauciores. Nunc a 5 ad 6^ progrediamur, ac manifestnm est. 

 hinc omnes numeros minores quam 5-i-2n-i-3 ad summum requirere n-i-2, numerus autem 5-i-2n-f-3=5nH-6 

 videtur n-4-3 partes requirere; est vero 5n-i-6=: 3^4-1- 2n = 4.4-i-n — 2, ubi h-A constat quatuor partibus et 

 n — 2 ex n — 2 partibus, unde ipse numerus 4^-i-n — 2 constat ex n-i-2. Venim hic excipiendus est casus. 

 ubi n<[2, quia n<^2 foret negativum: hoc autem casu numerus noster 5-i-2n-4-3 fiet =C — n-i-2, unde casu 

 n=l erit C-t-i, ideoque duabus tantum constat partibus. Casu autem n=2 fit 5n-i-6=C, ideoque ipse est 

 numerus polygonalis; reliquis vero casibus, ubi n>2, iste numerus 5n-i-6 secundus est, qui n-i-2 partes 

 postulat, dum minores omnes praetcr 2n-i-3 paucioribus constant. Sequens autem numerus 5n-i-7=2i4-i-5, 

 ideoque tribus tantum constat parlibus. Hunc sequens, 5n-i-8, constabit quatuor, ac tandem 5n-i-7-i-n — 1 

 constabit ex n-i-2; est vero 5n-i-7-i-n — l=C-i-2, ideoque constat tantum tribus. Nunc a C ad Z> progre- 

 diamur usque, ubi primum occurrit C-i-2n-H3, qui dubius videri polest. Est vero 



C-H2n-f-3 = 8n-i-7 = 2j»-+-2n-i- 1 = 2J5-f-.l-f n — 1 , 



