196 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 



quarum partium numerus est n-i-2, qui ergo est tertius numerus n-i-2 partes postulans. Quia deinde ab 

 2n-H3 usque ad 5n-+-6 omnes numeri postulant partes pauciores quam n-»-2, numerus sequens dubius erit 

 ^_#_5n-H6= lln-i-10, qui autem jam superat D et ad sequens intervallum pertinet. Simili modo progredientes 

 a D versus E, ubi primum numerum dubium reperimus Z)-H2n-i-3 = 12n-+-8 = 2C, qui ergo duabus tantum 

 constat partibus, unde ulterius progredi licet, usque ad 2C~t-n, qui constabit ex n-H2. Sequens est 



2C-Hn-i-l = 13n-4-9, 

 qui videtur n-i-3 partes requirere: est vero 13n-i-9=Z)-t-5-i-l, qui ergo in tres partes resolvitur. Hinc pro- 

 grediemur usque ad 14n-i-9 = 2C-*-2n-i-l =2C-i-yl-f-n — 1, sicque partium numerus reducitur ad n-i-2, 

 sequens vero numerus 4n-f-10=:Z)-i-4n-i-5 = Z)-i--B-i-^ sicque tribus constat partibus, unde progredi licel 

 usque ad 14n+-10-f-n— 1 = 15n-t-9 quod jam superat .' '. . . 



•)t) iU , fi: 



A. m. T. I. p. 336 - «40. 



"**' (Lexell.) 



Demonstratto sequens ardua Vtro Celeb. la Urange aeoetur: 



Si fuerit Aa=pp~i~qq-i~rr-t^ss, ubi sumere licet pp-t-qq, ut cum a communem non habeat divisorem. 

 Ponatur pp~i~qq = t et rr~t~ss = u, ut sit Aa = t~i~u, et per t multiplicando Aat=^tt~t-tu. Cumv nunc sit 

 tu=:(^p-t~qq) {rr-i-ss), erit summa duorum quadratorum; ergo ponatur =.xx-\~yy, eritque x = prd=.qs et 

 y=pszfiqr, i(a ut sit Aal = tf-i-xx-i-yy. Jam quaerantur numeri a, /?, y, d, ut fiat,7cri9aiti{< 



X = 1a-t~ay et y=^t^3-\-ad, ' 



1 



quod cum infinitis modis iieri possit, casu simplicissimo a et /? capere licebit minores quam — a, eritque 



Aat = tl (1 -i-acc -!-/?/?) -i- 2al [ay-\~pd) ~i-aa [yy-\~dd). 



Debet ergo primum membrum 1-i-aa-H/?/? factorem habere a, quia autem t ad a est primus, neccsse est, ut 

 l-Haa-i-/?/5 divisibile sit per a; ponatur ergo \-^aa-\~8l3 = aa , ita ut nunc habeamus 



At = a'it~i-2t [ay -t- (38) -\-a [yy-i-88) , 

 quae per a multiplicata fit Aa t = a a U-i-2a t [ay -t- (38) -t- aa [yy-\-S8), 



formula per t divisibilis. In ultimo membro loco aa restituatur 1-i-aa-i-/?/?, ut habeamus 

 t H~ «i: nrim «^^ ^^'^ _ f^' a' tt-i~2a l [ay-i-(38) -h- [aa-\~p§) [yy~i-88) -\-yy-i-8S, 



cujus formulae ad dextram ,lria priora membra manifeslo reducuntur ad 



ila ut nunc habeamus Aa t = [a t-\-ay-i~^8)'-\-[f3y — a5)^-f-)/j/-f-55. 



Supra autem vidimus yy~\~S8 per t esse divisibile, unde etiam summam duorum priorum quadratorum 



..„«?, i^-i *iirtttf»iqi-»XM ml aiuij («'^ -H ay -f- (3S)^-\- {(3y-aS)^ 



per / divisibilem esse oporlet, ita ut uterque quotus fiat summa duorum quadratorum, quare si faciamus 



(a7-t-av-f-/35)2-+-(/3v — «5)2 , , , , yy-^-SS 



i — f—^ ^ L.z=pp-\-qq et =r r -\-s s 



habebimus Aa =:p p -^q q-i-r r -i-s s scilicet summae quatuor quadratorum. Hic vero imprimis notandum 

 est fore a'<^a. Gum enim sit a'= —, ac ut vidimus 



,<\b«'>. «^1« et /?<i-a, erit 1 -f- «a +- ^/3 < 1 -+ i oa, 



/11. /1 



unde sequitur fore a <-g-«H , ideoque certe minor quam a, vel a <— a-t-1. Consequenter si productum 



