Fragmenta ex Adversariis depromta. 197 



Aa fuerit summa quatuor quadralorum, eliam hoc minus productum Aa erit talis summa, hocque modo con- 

 tinuo ad minora hujusmodi producla Aa ^ Aa ' etc. progredi licot, sicque tandem necessario pervenietur ad pro- 

 ductum ^.1, ideoque A summa quatuor quadratorum. Quae est demonslratio insignis illius et demonstratu dif- 

 ficillimi theoremalis, quod si quispiara numerus A fuerit divisor summae quafuor quadratorum, quae quidem 

 inter se factorem non habeant communem, tum ipsum numerum A forc quoque summam quatuor quadratorum, 

 seu, quod eodem redit, summam qualuor quadratorum alios non admittcre divisores nisi qui ipsi sint summae 

 quatuor quadratorum. 



{KrafH.) 

 Ejusdem iheorematis demonsiratio mea [scil. Euleri). 



Lemma I. Si iV et n fuerint numeri inler se primi, tum quicunque numerus A ita potest repraesentari, 

 ut sit A = Nx-i-ny, et quia hoc infinitis modis fieri potest, dabitur casus, quo x^C^wf^- Sit enim 



A = Nf-^ng , erit etiam A = N{f— Xn) -i-n [g-\-XN) , 



unde, quantumvis magnus fuerit numerus f, ita accipere licebit A, ut fiat f — Xn<Cn; lum vero si f etiamnunc 



1 1 



fuerit ]>>— n, tum f — n cerle minus erit, quam -^-n: hic enim ipsi numeri spectantur, et perinde est, sive 



sint positivi, sive negativi. 



Lemma IL Produclum ex binis numeris, quorum uterque est summa quatuor quadratorum, in quatuor 

 quadrala resolvere. 



Sit hujusmodi productum (a*-+-fc''-t-c*-4-rf'^) (a*-f-/3^-»-}'^-+- 5*), 



ac sumatur A=-\-aa~^h^-\-cy-\-dd, B = -+-a^ — ha — c8-^dY 



C = -t-aY~t~bd — ca — rf/?, D = -i-ad — by-\-c8 — da, 



quorum quadrata si invicem addantur, omnia duplicia producta ex binis se mutuo tollent, et quodvis quadratum 

 latinarum literarum multiplicatur per omnia quadrata litterarum graecarum, atque hinc manifesto fiet 



(a^-H 6^-4- c^-H d-"] [a^-h- /3^^ f-i~ 5=^) = A^-^ B^-i-C-^ D\ 

 Theorema. Si numerus primus iV fuerit divisor summac quatuor quadratorum P^^-t- Q--^ R'-i- S^, him 

 ille ipse numerus N erit summa quatuor quadratorum. 



Demonstratio. Quantumvis magni fuerint numeri P, Q, R, S, eos semper deprimere licebit infra -q N; 

 nam si loco P scribatur P — XN, summa illa etiamnunc erit j>er N divisibilis; quod etiam de reliquis l^, /f et 5 

 valet, sicque singulae radices infra iV deprimentur, ac si P adhuc majus fuerit quam -^N, ejus loco scribatur 



N — P, quod certo erit minus quam -^ N Sit ergo p^^q^-^r^^-t-s^ ista quatuor quadratorum summa per N 



1 



divisibilis, ita, ut singulae radices minores sint quam -n-^? 3C denotet n quotum resultantem, ut sit 



Nn = p'^ -1- q^~*- r"^ -i- s^ 

 et haec summa minor erit quam N^, sicque certo erit n<^N Jam sequenti modo istae quatuor radices ex- 

 hibeantur secundum lemma L 



p = Na-i-na, q = Nb-k-n§, r = Nc-ir-ny, s = Nd-i-nd, 

 ubi litteras a, b, c, d ita assumere licebit, ut sint minores quam ^n, sive hoc fiat negative, sive positive. His 

 jam valoribus substitutis habebimus 



Nn = N^ (a^-»- i^-n c^n- d^) -h 2Nn (aa -h 6/3 ■+- c/ -4- dd) -+- n* (a'-+- ,5»h- y*-i- 5*) , 

 ubi notetur esse, per lemma II, aa-*-b^-t-cy-\-dd = A. Duo posteriora membra sponte sunt divisibilia per n ; 

 ergo necesse est, ut etiam primum per n sit divisibile. At iV* dividi nequit per n, ergo necesse e.st, ut 

 a*-H6^-*-c*-i-rf^ sit per n divisibile. Ponatur ergo 



