198 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anthmettca. 



1111 



a'^-+-6*-4-c*-i-d*=nn', et quia «-<— n, b<C.— ti, c<C-^n, rf < — n, 

 erit summa a^-i-b^--^c'^-h'd^<^n^, ideoque nn'<^n-, ergo n<:^n, 



iiisi forte sit n=i. Divisa ergo per n illa aequatione, prodit 



iV= Wh- 2iV^ -t- n (a^-f- l^^H- y^H- 5-^) , 

 quae per n muUiplicelur, ut habeamus 



Nn = iV^ n'* -H 2 iVn A -+- nn («2-+- ^» -4- f -^- 5^) ; 

 quia autem nn =«'-+- J^-f-c*-*- rf^ ultimum illud membrum abit ,in 



(„2^ 62-4- c^-H rf2^ (a2-H /J^^-H y^-H d^) = ^^-1- B'-^ C^-h- D^ 

 per lemma II; consequenler 



Nn'= N^n^-+- 2NnA-t- A^-t- B^-^ C^-+- D^= (iVn'-4- A)''-^ B^-^ C^-t- D\ 



Sicque formula Nn etiam erit summa quatuor quadratorum, existente n'<:^n. Eodem modo pervenire licebit 

 ad formas ulteriores Nn', Nn'" elc. ita, ut sit n"<C,n, n"<^n" etc. sicque tandem perveniri necesse est ad 

 formam 2V. 1, quae ergo etiam est summa quatuor quadratorum. Q. E. D. 



Hinc etiam sequens Theorema facilius demonstrari potest, quam hactenus est factura: 



Summa duorum quadratorum inter se primorum alios non admittit divisores, nisi qui ipsi sint summae 

 duorum quadratorum. 



Lemua. Productum ex duabus summis duorum quadratorum ipsum in duo quadrata resolvere. 



Sit productum (a^-*-6^) (a^-f-/?^), et sumtis ^ = aa -1-6/3 et B = a§ — ba, erit 



(a*-+- 6*) (a^-i-. /?2) = A^-t- JJ^ 

 Si nunc iV fuerit divisor formae p'h-?^ posito quoto =n, habetur Nn^p^^-t-q^. Nunc igitur p et ^ ita ex- 

 hibeanlur, ut sit p = iVa-f-na et q = Nb-t-n(3, ita, ut a et 6 sint minores quam — n; hincque a'--t-fc'<^— n^, 



quo substituto fit 



Nn = iV*(a2-H b^) -H 2iVn {ao^ -h- bp) -f- n^ (a^H- /?^) , 



quae cum per n divisibilis es&e. debeat, statuatur a^-¥-b^=nn, et diviso per n erit 



iV= iV^n'^ 2iV4 -H- n (a^-f- /?*). 

 Multiplicetur per n, erit 



Nn'= iV*n'*-f- 2iVn'^ -f- nn (a''-f- ^^) 

 at nn (a--f- /?2) = A^-i~ B^, ergo 



Nn'= iV^n'2-f- 2iVn'^ -f-^2_^ ^2_ (;Vn'H- ^)*-*- B^, 



/1 . . 



sicque Nn' est eliam summa duorum quadratorum, ubi n <:^-^n. Hocque modo ullenus progrediendo mox per- 



venietur ad iV.l. Consequenter N certo erit summa duorum quadratorum. 



Alia demonstralio simplicior ejusdem theorematis. 



Si numerus quicunque N fuerit divisor summae quatuor quadratorum P^ -^- Q''- -t- R^ -h- S"^ , quae singula 

 seorsim per eum non sint divisibilia, ille ipse numerus quoque erit summa quatuor quadratorum. 



Demonstratio. I. Illa quadrata semper ad alia reduci possunt minora quam -j-iV^- Ponatur enim 



P = mzizp, Q^^l&Nz+zq, /? = eiV^r, S=5)iV:+:s, 



ubi literae 51, 53, d, S ita assumi possunt, ut numeri p, q, r, s infra semissem numeri iV deprimantur, quibus 



substitutis evidens est, formulam p^-f-^f^-f-r' -*-«*, quae utique minor erit quam N^, divisibilem fore per N 



et quolum fore minorem quam N. 



II. Sit ergo iste quotus =n, ut sit iVn^p^-f-^r^-i-r^^-Hs^, et ratione hujus numeri n radices istorum 

 quadralorum ila exhiberi poterunt 



^ = a-i-an, ^ = 6-f-j3ti, r^c-i-Yn et s = rf-f-5n, 



