Fragmenta ex Adversarus depromta. 199 



ubi 6\ pro ^, 6, c et rf etiam valores negalivi adtnittantur, hos numeros itidem infra — ti deprimere licebit, 

 ut sit a*-+-6«-4-c'-f-rf'<n*. 



III. His autem valoribus substitntis fiet 



Nn r= 0^-1- 6* -4- c*H- rf*-*- 2n (aa -I- 6|5 -♦- cy -♦- rf«5) -♦- n' (a»-H ^*-*- y'-i- 5*), 

 quae formula per lemma praemissum abit in hanc 



Nn = a^-i- 6=^-1- c^-f- d^-~+~2nA h- n^^a*-^ ^^-f- j/2_,_ 52^^ 

 quae cum sit divisibilis per n et bina posteriora membra jam in se sint per n divisibilia, necesse est, ut etiam 

 pars prima a'-H6*-Hc^H-d* factorem habeat n.. Quare ponatur a^-t-b^^-^-c^-t-d^^nn et dividendo per n 

 habebimus N= n'-H2A -h n (a*-i- /?^-f- y^-H d') 



IV. Multiplicemus nunc in n, et in postremo membro loco nn' substituamus valorem a^-i-fc^-f-c^^-f-rf'^, 

 ut prodeat iVn'=n'V2n'^-f-(a2-f-5'-f-c*-f-(r*)(a*-f-/?«-«-y*-f- 5^). 



At per lemma praemissum hoc postremum membrum transformatur in A^ -t- B- -+- C^ -^ D"^ , ita, ut nunc ha- 

 beamus iVn'=n' -f-2n'^ -f-il^-t-.B^-f-C^-l-Z)'^, 



sive iVn'= (n'-f-yl)*-f-jB*-f- C*-*- Z>* = summac quatuor quadratonim. 



V. Cura autem sit nn'=a*-i-6^-f- c^-f-d*<:^n*, utique erit n <:^n. Quemadmodum igitur ex forma Nn, 

 quae erat summa quatuor quadratorum, pervenimus ad hanc minorem Nn, etiam aequalem summae quatuor 

 quadralorum ; ita uUerius pervenire licebit ad formulas Nn , Nn"' etc. itidem quatuor quadratis aequales, ila, 

 ut numeri n, n , n'", etc. continuo diminuantur. Tandem ergo haec diminutio usque ad unitatem deducetur; 

 ita, ut tum futurum sit iV. 1, hoc est ipse numerus propositus iVaequalis summae quatuor quadratorum. Q. E. D. 



CoROLLARiUM 1. Hacc adeo demonstratio locum habet, etiamsi iV non fuerit numerus primus; dummodo 

 ergo numerus quicunque N fuerit factor vel divisor summae cujuspiam qualuor quadratorum, tum certe is ipse 

 numerus quoque erit summa quatuor quadratorum. 



CoROLLARiuM 2. Quodsi ergo demonstrari posset, proposito quocunque numero iV, semper exhiberi po.sse 

 summam quatuor quadratorum per eum divisibilem, tum utique completa haberetur demonstratio theorematis 

 ilUus Fermatiani, quod omnis numerus sit summa quatuor quadratorum, vel etiam pauciorum. 



Theorema. Proposito quocunque numero primo iV, semper exhiberi possunt quatuor quadrata, singula 



1 

 mmora quam -r-iV^, quorum summa per illum numerum sit divisibilis. 



Demonstratio. I. Ratione numeri propositi N omnes plane numeri in aliqua sequentium formularum 



erunt contenti XN, AiV-H 1 , AiV-H.2 , ;iiV-f- 3 , AiV-f- 4 , AiV-h- [N— 1) , 



quarum numerus esl =^N. Singulae autem hae formae non omnes continent numeros quadratos; dantur scilicet 

 inter illas ejusmodi formulae, quae numeros quadratos involvunt, reliquae vero quadrata prorsus excludunt. 

 Seposita enim prima forma XN, quae ipsa multipla numeri N continet, reliquarum primae AiV-f- 1 et ultimae 

 XN-\- N — 1 , vel (A -f- 1 ) N— 1 quadrata in eadem formula continebuntur, nempe XN-\- I . Eodem modo q\ia- 

 drata secundae et penultimae formulae continentur in formula AiV-f- 4. Simili modo quadrata tertiae et ante- 

 periultimae continebuntur in formula AiV-f-9, quarum formularum multitudo est -^(iV— 1), quae scilicet in se 

 complectuntur quadrata. Reliquae formulae omnes ab his diversae quadiata penitus excludunt, quarum nu- 

 merus itidem est -q- (iV — 1) 



II. Sint formulae illae quadrata admittentes: AiV-f-a, AiV-f-ft, XN-k-c, XN-\^d, etc, quarum numerus est 

 g- (iV — 1) et modo vidimus, inter hos numeros a, h, c, d, etc. reperiri quadratos 1, 4, 9, 16, etc. quamdiu 

 scilicet sunt minores, quam N. Majorum enim residua ex divisione per N relicta sumuntur. Formulae autem 

 quadrata penitus excludentes sint: AiV-f-a, AiV-f-/?, XN-k-y, XN-*-d, etc, quurum numerus itidem est 



