200 L. LULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetwa. 



lU. Facile aulem demonslrari potest, binas formulas prioris classis in se rauitiplicatas etiamnunc ad prio- 

 rem classem pertinere, scilicet cum prior classis contineat formas a, b, c, d, etiam continebit producta ex binis 

 vel quotcunque horum numerorum. Scilicet producta ex binis numeris prioris classis etiam in priore classe 

 occurrent, cujusmodi sunt aa, bb, cc, etc. Tum vero productum ex numero prioris classis in numerura poste- 

 rioris classis eadet in classera posteriorera. Denique productura ex binis nuraeris posterioris classis etiara cadet 

 in classem priorem. 



IV. Jara si in priraa classe occurreret forraula XN—a, sive quod eodera redit, XN-t-N — a, darentur qua- 

 drata formae XN-i-a et XN—a, quorura ergo sumraa foret per N divisibilis. Quare si quis neget, dari suramara 

 quatuor quadratorum per iV divisibilera , raulto magis negare debebit, dari adeo suramara duorura quadratorum 

 divisibilem. "n&lar ^ 



V. Quo igilur nostrum theorema demonstreraus , sumamus tantisper, non dari suraraara quatuor vel pau- 

 ciorum quadratorum, quae non esset divisibilis per numerura propositiira N, atque ostenderaus hinc maxiraa 

 absurda esse seciitura. 



VI. Ista igitur opinione quasi adoptata, quia nuraerus — a vel N — a in priore classe non occurrit, certe 

 occurret in posteriore classe inter numeros a, /?, y, d; ergo inter nuraeros a, /?, y, d occurrent nuraeri — a, 

 ^l^ __c, —d, ideoque etiam negativa quadrata — 1, — k, —9, — 16. 



efi VII. Eodera modo ostendi potest, numerum — a — h certe non in priori classe contineri; si enim ibi con- 

 tineretur, darentur tres numeri quadrati formarura XN~+-a, XN-t-b et XN — a — b, quorura sumraa esset per N 

 divisibUis; quod cura hypothesi repugnet, hic nuraerus — a — b in posteriori classe reperiatur necesse est. 



VIII. Quia aulem in posteriori classe reperitur — 1, productura ex — 1 in — a — b, id est -^a-i-b in 

 prima classe continetur; sicque in priori classe jam occurrerent numeri 1, 2, h-, 5, 8, 9, 10, 1."?; eorundem 

 aulem negativa occurrent in classe posteriori. 



IX. , Cum ergo forraulae XN-i-l et XN-t-2 sint prioris classis, ibidem non continebitur forraula XN — 3, 

 quia alioquin habereraus tria quadrata harura formularum, quorura surama foret per N divisibilis. Quia ergo 

 — 3 non in priori classe continetur, continebitur in posteriori; ejus vero productum in — 1, hoc est -4-3, con- 

 tinebitur in priori. 



X. Sit autem generalius f numerus quicimque primae classis, atque dico, in priori classe formulam 

 XN—f—\ non contineri, quia darenlur tria quadrata, scilicet XN-v-\ , XN-t-f, et XN—\ — f, quofum summa 

 forel divisibilis per N; unde numerus — f — 1 in classe posteriori reperiatur necesse est; ejus vero negativum 

 -i-f-r|-l in priorera classera cadet. 



XI. Adraissa ergo illa hjpothesi, si forraula quaecunque XN-t-f in prima classe contineatur, ibidem quoque 

 occurret formula AiV-t-f-i-1; quocirca in prima classe occurrerent omnes istae formulae: ouieMia 



XN-^1, XN-t-2, AiVH-3, AiV-f-4, etc. ' '" ■'■■ 



hoc est omnes plane forraulae forent prioris classis, simul vero in classera posleriorera ingrederentur omnes istae 

 forraulae: ''♦' «<'''i»'"' XN-i, XN—2, XN-3, AiV— 4, etc. . ,j. ,n'>M?. Hf 



hoc est omnes pldne formulae tam in priore quam in posteriore classe occurrerent. Quare cum ante sit osfen- 

 sum, in priore classe tantura occurrere -^(iV — A) formulas et totidem in posteriore, absurdum est manifestum, 

 quod inde ortum est, quod falso supposuimus, non dari sumraara triura quadratorum per iV divisibilem ; quara- 

 6brem verum erit, dari summas trium quadratorum per N divisibiles. Multo magis ergo dantur sumraae qua- 

 luor quadratorum per N divisibiles. Q. E. D. 



'" CoROLLARiuM. Cum crgo , proposito numero primo quocunque N, dentur sunnnae non solum quatuor 

 «ed etiam trium quadratorum per illum divisibiles, ipse ille numerus A'' erit quoque summa qualuor quadra- 

 lorum, ve) et pauciorum, et «um producta ex binis vel pluribus numeris, quorum singuli sunt summae quatuor 



