«vAAitiAuu Fragmenta ex Adversariis depromta'. 201 



quadratorum, sint etiam «ummac quatuor quadratorum, jam rigoroMssime demonslratum est. pmnes plane nu- 

 merofi esse summas quatuor quadratorura. j,.,,;j ,„.,f,,.., „j ,,,,7 , .., , 



Obseryatio siifGULARis. Cum productnm ex binis numeris, quorum uterque est summa duorum qua- 

 dratorum, etiam sit summa duorum quadratorum, tum vero etiam productum ex duobus numeris, quorum 

 uterque est summa quatuor quadratorum, quoque sit summa quatuor quadratorum. Hinc concludendum videtur, 

 idem etiam de summis trium quadratorum valere, quod autcm longe secus se habet, neque etiam eo modo, quo 

 in lemmate superiore sumus usi, talis forma (a^^-i-fc^-f-c^) (a*-i- /?*-+- y'') ad tria quadrata revocari potest. Fieri 

 enim saepe potest, ut productum e\ binis summis trium quadratorum non in pauciora quam quatuor quadrata 

 resolvi possit, veluti 3=1-4-1-1-1 et 21 p= 1 -t- 4-1-16; horum tamen productum 63 nullo modo in pauciora 

 quam quatuor quadrata potest resolvi, quandoquidem est numerus formae 8n — 1 sive 8n-i-7. 



A. m.T.Lp. 177-186. 



35. 



(iV. Fust 1.) 



Theorema. Nulli numeri in sequentibus formulis contenti in duos numeros trigonales resolvi possunt: 



I. 9n-f- 5, 8 ' "■•'""• "■"">i'U"MM fM..:uH 



II. Wn-H 5, 19, 26, 33, 40, 47 /^- ^* mjBmJq n> xfi 



III. 81n-*-47, 74 ^trt.itao-, 



IV. I21n-f- 8, 19, 41, 52, 63, 74, ^5, 96, 107, 118 Y- 



V. 361n-4-14, 33, 52, 71, 109, 128, 147, 166, 185, 204,^ 223, 242, 261, 280, 299, 318, 337, 356. 

 Specimen Demonstratigni^ pro formula 49n-»-19: 



Sit 49n-+-19= — 1 ^— , erit multiplicando per 8 . ^^ _ »o 



392n -I- 152 = 4aa -♦- 4« -I- 4fcft -f- U, 



ergo 392n-f- 154 = (2a-f- 1)^-1- (26-1-1)*, ideoque summa duorum quadratorum. At numerus 392n-f-154 

 factorem habet 7, ideoque duorum quadratorum summa esse nequit. *"* "*i'JH ^^-^ 



Problema. Numeros in hac forma contentos xx-+~7 in quatuor quadrata resolvere. 



SoLUTio. Formula a;j?-f-7 transformatur in has: 



(a;— l)2-f-2a;-f-6, vel {x — 2f-^k-x~^Z, vel (ar— 3)*-f-&r-2, vel (ar--4)*-f-8a?--9;^jj^^ ^^^^ 

 vel in genere [x — n)^-+-2nx — nn-f-7, 



unde si 2na;— nn-*-7 in tria vel pauciora quadrata resolvi potest, quaesito satisfiet. Plerumque statim una harum 

 formularum priorum nesotium conficit. Verum danlur etiam casus, quibus longe progredi oportet. Veluti si x 

 fiieril,75vUSi|ti^..^d,;»^=^lJipr9gredi oportet, tum enim fier^,^ ., ;; ,,,,;,.^,:».,„, 7 -'T .\ , ^ ««1,0-! ni immrU 

 .MoiliiI.«. jiU,,ft«,q jftaidJu-v).! l^^;-*T7T^^*-*rl^50-.121 -f-7 = 64*-f- 1536. ,^ ^,^^.^ ^„^j„p 



Est vero 1536 = 16.96=16*6, at 6=?4f-l-i-l, 



unde quatnor quadrata emnt 64*-h 16*-i- ^^''-f- 16*. 



Aliud exemplum multo nolabilius est, quo « = 181; tum enim formulae «upra datae frustra tentantur, donec - 

 perveniatur ad n = 53, tum autem fiet 



I81*-f- 7 = 128* -I- 19186 — 2802 = 128*h- 16384 = 128' -f- 128*. M.pJhA 



Sicque hic numerus ad duo quadrata est reductus, neque ullo alio modo vel in trfa, vel in plura adhuc qua-^ 

 drata resolvi potest. „,, .:, ..., .,„^v„| 



Hac occasione sequens Iheorema omnem attentionem meretur. 



Theorema. Omnis potestas binarii 2" seraper csl numerus in hac formula contentus: xx-*~lyy. 



L. E u 1« r i Op. poathuiua. T. I- 26 



