206 L EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica, 



i5i50S4 tV^ }:x = f {anjyp — ^nqq) — 2(ingpq , y = g [anpp — ^nqq) -+- 2anfpq. . £^ = » 18 .111 



1 . . . . . ■• ' ' 



Videarous igitur aii e««e possit n = - , manentibus x ei y mtegris. Cum igitur sit 



quod evenit si p et 9 ita sumantur, ut fq-*-gp fiat per h divisibile. 



, , r . - ,iW. L. Krafft.) ^ a ,• • 



Problematis supra propositi solutio facillime sequenti modo absolvetur, siquidem constet unus casus, quo 

 «it aff~t-pgg = yhh, ubi scilicet x=f, y=^g et if=h. Statuamus x = fp-+-pgq et y=gp — afq, tum enim erit 



axx ■+■ §yy =pp («//" -H Pgg) -f- a^qq {aff-+- ^gg) = yhh {pp -h a^qq). 

 Sicque aequatio adhuc resolvenda erit hh {pp -\- a^qq) =: zz , ita ut pp-^^a^qq debeat reddi quadratum, quod fit 

 capiendo /) = rr — a^ss et gr = 2rs, tum enim fit 



pp~{-alSqq = {rr -+■ a^ss)^. 

 Ideoque z=:h{rr~t- a^ss). Ipsarum vero x et y valores erunt 



x = f{rr-^a(3ss)-^2^grs, y = g{rr--a^ss)-2afrs, ef .fJS^ rt •niJfiiqB;/^ lov 

 ubi numeri r et s pro lubitu assumi possunt. (Conf. Comment. arithm. T. I. p. 556.) 



A. ro. T. I. p. 95. 96. 98. 99. 



40. 



Miwn fhWi «fftfffE^r» x^t^lwfph *T^-r-^\»v {j. a. Euler.) ^* •'' f •* **y»*»»»«itfl «♦^irf'»-/*»' >Mi«*f 



Theorema. Si fnerint naa-t~pbb= D =:cc et nff-+-qgg= n=hh, tum semper assignare licet x et y, 



ut sit nxx~¥-pqyy= D =zz. itsi mim «W! .*(i^?V^^iipr(^ii"-»*\^»i =^ ifiJ«»i6J<^ .oiTa4<»'. 



Demonstratio. Cum sit pbb = cc — naa et qgg = hh — nff, erit productum 



pqbbgg =■ {cc — naa) {hh — nff) = {eh -i- naf)^ — n {ah-+- fc)^, 



unde manifestum est fore n{ah-i-fc)^-t-pqbbqq = {ch-t-naf)^, sicque erit , •, • .» 



x = ah-^fc, y=:bg et « = cA •+- naffjNf .. 



A. m. T. I. p. 130 



41. 



{N. Fuss I.) 

 Problema. Resolvere aequationem Xzz = nxx -+■ vyy, ex cognito casu Xcd=fiaa-t-vbb. 

 SoLUTio. A priore aequatione in cc ducta subtrahatur posterior in zz ducta, eritque 



= (i {ccxx — aazz) -t- v {ccyy — bbzz) , 



fi{cx-t-az) v(bz-t-cy) 



bz — cy ex — az 



«ive (i {ccxx — aazz)=: v {bbzz — ccyy) , hinc 



Utraque haec fractio statuatur = - et ex priore elicitur 



lup ,iulii»b »0»rj iboipwii ^_^ ficqx-ir-pcy ^^ ^^ altera z -— '^^^~'' i^ 



bp — /xaq vbq-i-ap 



qui duo valores inter se aequati dant 



^y y nvbcqq-t-^^iiacpq — bcpp 



X fivacqq — 'ivbcpq — aepp 



Statuatur ergo x z^ (iv aqq — 2vbpq — app et y = fiv bqq -#- 2jtt Opq — bpp , 



sive X = a{fivqq — pp) — 2k'bpq et y = b {livqq—pp) -f- 2(iapq. 



I')d«ffiq otJiifrt/<» «if[ii 



