208 lluEULERI OPERA POSTHUMA. Aruhmettca. 



' - s. 



,^A_^VM'V(^-f-y. (J. A. Euler.) 



Crtterium ad dignoscendum , utrum hujusmodi aequalio fxx-i-gyy=hzz sit possiinlis, nec ne? 



!, Si esl po&sibilis, casu h = a, tunc eliam erit possibilis casu h=: r^: hic scilicet pro p ejusinodi nu- 



merus sumi debet, ut pp -+- fg divisorem habeat a, fuerit nempe pp~t-fg=:ab et sumto q=a etiam casu h=b 

 erit possibilis. Tum vero pro b eodem modo operatio instituatur, sicque continuo ad minores numeros perve- 

 i^ietur, donec tandem judicium fiat facile. 



ExEMPLLM. I. Sit 7xx-+~il3yy = lth-zz, quae aequatio an sit possibilis, quaeritur. Hic est f=7, 

 g = il3, et quaeritur an sit possibilis casu A = 114 = 2.3.19? Statuattir ergo 



114(pp-<-791) . , „ . .^ ,.' . 114.800 „ 



A = — et sumto « = 3 et o = 40, prodit casus A = — -— — = 57. 



^v^i +-VV W 1600 



57(p»-+-791) 

 ,111 II. Nunc iterumfietA = — — — et fiat p«-4-791 divisibile per 19, quod si fieri potest, dabitur casus 



quo p-<19. Ut, ex. gr. pp-\~i2 fiat divisibile per 19, debet esse p = S, unde A=--— =15. 



III. Quaestio ergo huc est reducta, an aequatio 7scx~i-ildyy=i5zz sit possibilis? quae hoc modo reprae- 



sentetur i5zz-7xx=ii^yy, ubi /"=15, g=-7, fg=-i05 et A:^113. Nunc fiat A = ^^^^~*"^^ et 



■' ^■■•'" ■-' ' '" • '■ ■ '■■ '■■■ '■ ■• w " ■" 



reddatur pp — i05 divisibile per 113, quod fit sumendo p = 52, tum autem fiat A = : '- — - = ' — '-^^ 



ergo quadrato sublatp fit A = 23 et quaestio huc est reducta, an aequatio i5zz — 7a;a; =23j/t/ sil possibiKs. 



23 (pp 105) 



IV. Fiat ergo h=:—^ s\U{\ie pp — 13 per 23 divisibile, sive pp = 23n-4-13, quod fit si n=i 



23.69 



et p = 6, ergo h=: — =: — 3. Habetur igitur haec aequatio 



i5zz — 7xxi=—:iyy, sive 7xx — 3yy = i5zz, 

 nhi f=7, g = —^ et fg= — 2i, h=i5. . <,-•»* 



V. Fiat nunc h = — ^^~ — ^- Sumalur p=4, erit A= '— =: — 3-, ergo aequatio 7xx — 3yy=-^dzz., 



quod actu evenit si a; = et y = z, atque hinc sequitur ipsam aequationem pr(^ps|tam es^e possibilem. 



Noia\ Revera aiitera est possibilis: si enim capiatur z = 2 et y = i, fit ' ■ ' 



vs\^>m1:h iM '. i '• ^a-x-^\i3=!i.5G s\\e 7xx = U3 et xx = m=tc. 



Ita semper iequatio si fuerit possibilis, ad talem formam reduci poterit axx-t-byy = azz, cui 

 manifesto satisfit sumendo y = Oetz=:x. 



.W\^-f-MVt»H -f-U . .'\.ii\ -~\'. »- 



(•bonifnub Jflftoup OTKide-rq aoioiHiin atnbix»' (Krafft.) i »t\htiu'U)\ ?»<;iiwi l»oi;|» .ititiii^ib titiii- 



Judicium hoc reddi potest adhuc facilius hoc modo : ^^^^' ii>iii 



^'"ieiim .4H fe ^ 2-3. 19,(fl. -«-791) , papia^yj.^ Ha, ul j)*-*-791 divisibile fiatper 2:3.19. Trimo autem fit di- 

 Viiibile per 2s"'si ''i) — 2n-+-1; at vero per 3 fit divisibile, sip = 3nHpi. Utrumque igitur obtinelur, si 

 p = 6nqnl. Restat, ut ^^^-1-791 sit per 19 divisibile; quod fit, si p* per 19 divisum relinquat 7; sive debet 

 esse p^^^l^n-i-^, ergo 19n-i-7 debet esse quadratum, quod fit, si n = 3, eritque p=8. In genere ergo hoc 

 flet si pt±i19n=p8, hoc est casibus p=S, p=ii, p=21 , p=30, p=46, p=49, p=65, etc. inter quos nu- 



ineros reperitur statim 11, qui est formae 6nrpl. Sumatur ergo p = \\, eritqiie |)*-f-79l =912= 114.8, 



1 14^ 8 • 5 1 . . - - 



ergo h= ' et sublalis quadratis h=2. Res ergo eo redit, an sit 7x^-\-\i3y^=2z'^. Quia hic est A=2, 



it.t 



D 



sumatur iterum h = — — ^ ' Ponatur p=7, erit h=-^—^=\05. Si sumsissemus /> = 3 , prodiisset 



