Fragmenta ex Adversariis depromia, 209 



h= — = 1, el jam quaeritur, utrum possit esse 7a?'-i- 1 1 3y' = z*. Sumatur ergo h= ^ ~*~ et sumatur 



7 113 " 



p=0, erit h= — j et cum quaestio «it de forma 7a;'-4- I13y* = 7.1132*, debet esse ar = 113M, ideoquo 



7 .M'ii^^-*-y*=7z^. Felicissime succedit, si in aequatione A=p'-f-791 capiatnr p = 7.V. Tum erit 



^ _ 7M6-fr-7.tl3 T^ 225 _ 



?? qq 



ergo ventum est ad 7a;'-i-113y*=7z*, quod fit si y=0 et x=z, ergo proposita aequatio est possibilis. 



Haec solutio isti innilitur principio: si fuerit fx^^-t-gy^^hz"^, mulliplicetur utrinque per p^-^-fyq"^ fietque 

 h{p*-^f9q^)z''=fP^x^-+-9P^y*-i-p9q^a;^-*-ffq^y''=f{pa:~*-9qy)^-t-g{py — fqx)^. i^a ^„i^ 

 Ergo si ponatur x =px-\-gqy et y =py — fqx, erit fx -\-gy =h{p^-t^fgq^)z*; adeoque si aequatio proposita 

 fuerit possibilis, eliam haec erit possibilis et vicissim. 



Jam sumto q=i, habebitur praecedens forma h{p^-i-fg). Si nunc p ita sumi polest, ut p^-t-fg divisorem 

 habeat h, quod semper eveniet valore p<^— /i, et ponatur p^-t~fg = hh , ita ut loco h habeatur h^^h, sive 

 omisso quadrato simpliciter h. Sicque loco A prodiit novus valor h illo multo minor; cum enim sitp<^ — A, 

 erit hh' <C —h^-t-fg, ideoque ^<Cx^~*~T* ^'" autem pro p talis valor non detur, indicio id erit, aequatio- 

 nem propositam esse impossibilem; non autem hoc judicium inverti potest; dantur enim casus, quibus aequatio 

 nihilominus est impossibilis ; veluti evenit in hoc exemplo 2x^-+-3y^=7z'^, ubi f=2, g = 3 et h = T. Hinc 

 novus valor orietur h = l {p^-t-Q) et sumto p = l fit A=l, unde novus valor erit ^=1(^^^-1-6), qui dat 

 valores 7, 10, 15, etc, qui autem omnes nullo modo satisfaciunt ; nam facile ostendi potest, aequationem 

 2x--+-3y^=^z^ esse impossibilem , sive 2x^-t-3y^ quadratum esse non posse, vel enim x est divisibile per 3, 

 vel non. Priori casu y non erit divisibile per 3, quia alioquin tota aequatio per 9 dividi posset, et posito 

 ar=3^', formula erit ISt^^-i-^j/*, quae divisibilis est per 3, non vero per 9, ideoque quadralum esse nequit. 

 At si x=3vzizi, erit x^ numerus formae 3n-i-l, ideoque 2ar*=3n-*-2 el ipsa formula 2a!^-i-3y' erit numerus 

 formae 3n-t-2, quae forma quadratum esse nequil. 



Simili modo judicari poterit, utrum hujusmodi aequatio generalior fx^-t-gxy-t-hy^=kz^ possibilis sit nec ne. 

 Mulliplicetur enim utrinque per p'^-t-gpq-+-fhq^, ut habeatur 



ip^-y-qpq-^fH^) {fx^-+-gxy-t-hy^) = k^p^^-i-gpq-^fhq^) z^, 

 ubi notandum, prius productum semper reduci posse ad formam fX^-¥-gXY-t-hY^, quod cum non tam facile 

 adpareat, per factores irralionales sequenti modo ostendetur. 



Ouaerantur factores formulae fx^^-t-gxy-t-hy^, quod fit ponendo hanc formulam =0 et radicem extrahendo, 

 undc fit a? =^^^^^^^-^K unde factores erunt 



i (2fx -^gy-t-y Vig'- m) {2fx -t-gy-y V(y'- h.fh)) 



sive 



i.'>il;>miijrie < i»«aij^«»i«| maii 'itti9M*. 



jifx^^qy-^yy^lf-fhj^ifx-^^^qy-yy^lf-f^yh 



et posito brevilatis gi-alia --g^~-fh = l, ut fiat 



i.'>il;>miiJrie <■ 

 fx^ -t-gxyH-hy^=j{fx-+-- gy-^yVl) {fx -^-^gyT y V/). 



Simili modo erit p'^-^gpq-*-fhq^={p-*--^9q-^qyi) {j?-^ -^99—^^1) ^t 



fX^-tr-gXY^kY^=\{fX-i-'^g¥-t-YVl){fXH-y¥- YVl); ,^ ^^^ .„^, 



'.wp »•» 



L. Euieri 0{>. ppctbuiDii. T. (. 



27 



