210 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithneiwa. 



liaec ergo forma aequalis esse debet produclo ex binis praecedentibus, quod fiet aequando alterutrum faclorei» 

 produclo ex binis praecedentibus, scilicet »«11» irt 



ji-Hfr. fX'^^9Y+Yyi=={fx^^gy-i'yyi){p'i'^gq-*-qVl); ^^-^-^.^H.T 



fiic enim sumlo V/ negalive, sponte fiet 



fX~i-^gY-Yyi={fx-^~gy^yyi){p-+~\gq-qyi); 



sufliciet ergo alJerulram ila evoTvisse, ut membra rationalia et irralionalia seorsim inter se aequentur. Tum 

 igilur fiet •^'\ — \fc%}\i » '^^^ 5- '^•^^ — ''fi'^^ 



. ; oiifiupjfi 18 stfpe^fi f'^-+'-^9Y—{f«'-^j9y){P~^^ 99) -+- % ..m-v- 4.v\ 



I 1 1 



=vf^~+^9Py+-:^f9q^+~^9''qy—fhqy 



: ^,-, r r ," / Y = fqx -\- gqy -+- py . . , Jt ^ , ... 



qui posterior valor in priore substilulus praebet 



fil9 b fX = pfx — fhqy, binc X=px — hqy et Y = fqx -^gqy-i-py. 



Hoc igitur demonstratp ex dato valore /; alius investigetur /: , ut sit k = k {p^ -h- gpq -+- fhq^) , omissis factoribus 

 quadratis, capiatur autem 5^=1,, ut fiat k=k{p^-t-gp-^fh), el si aequatio est possibilis, loco p semper ejus- 



modi valorem reperire licet, ut formula p^^-i-gp-t-fh faclorem babeat k, quae posita = kk dabit novum valorem 



1 



h-, qvod si succedit, talis valor ipsius p semper dabitur minor, quam ^ h, dum scilicet p tam negalive quam 



positive accipialur, et sic valor /c' multo minor erit quam k, unde continuo ad minores valores pervenietur, 

 ^i^ec judiciupa facile reddatur. 



jjjj. Res exemplo illustretur: 5x^rf-t6xy-t-7y'^, ubi f=5,g=iQ, h=7, Quaeramus casum possibilem, quo 

 /jf==3[, quippe qui orituf ,, si fc^l e\, y=i, ita ut sit 5x^-i-iQxy-ir-7y^=7z^, qui autem maxime est obvius, 

 sumendo x=0 et y=z. Ergo alium eligamus sitque 5x^-i-iQxy-+'7y^=5dz^ ut sit ft = 59. .lam quaeratur 

 /c'=/t(p2qpl6»-+-35) et capiatur p ita, ut factor 59 toUatur, quod fit si p = 10, ft::?=59.295 = 5.59'^, unde 

 A =5 qui casus est obvius sumendo y=0 et z=:x. 



Problema. Invenire numeros f etg, ut fial fx^^-i-gy^p^p^^-t-fg. 



SoLUTio. Erit ergo fg — fx"^ — 99^= — P^; addatur x-y"^ eritque {f — y^) {9 — x^) = x^y^ — p-. Fiat 

 f — y^ = xy — p, erit g — x^ =:xy-t-p, ideoque f=y^-i-xy — p et g=^x^-t~xy -i-p, unde si f detur, ob 

 pz=y^~\-xy — f, erit g = x"^ -h-y^ -i-2xy — f, sive f-i-g = {x-¥-y)^=n- Quoties ergo f-t-g fuerit quadratum, 

 problemati satisfit; salisfiet ergo quoque, dummodo fuerit fm^-i-gn^=0- !" ', 



Theorema. Si fuerit fx^-t-gy^^sz"^ casu, quo s=h; tum eliam aequatio subsistere potest, quoties fiierit 

 $=hzf:h-nfg, dummodo hic numerus fuerit primus. 



Hujus tbeorematis demonstratio etiamnum desideralur. 



ExEMPLUM. Sit 2x'-i-^y'^=sz'^ quod fieri potest si s=5. Idem ergo praestari potest si fueril s=5-t-2i«, 

 unde hi numeri primi oriuntur: 5, 29, 53, 101, IW, 173, 197, 269, etc. Cuin ergo sit 2a;^-H3/= 101^^ ita, 

 ut in superiori calculo sit /t=101; erit s = 101(p'^-i-6). Fiat p^~{~& per 101 divisibile, sive /)^=10in — 6, 

 unde nascetur haec progressio arithmetica 



1 2 3 4 5 6 



— 6 95 196 297 398 499 600 etc. 



ex qua vero illi numeri n valores excluduntur, qui habent sequentes formas 



3/z-i-l, 4a, 4a-Hl, 5a-*-l, 5a-4-2. 

 Casui nostro satisfit si p=l4, unde fit s=2; qui vero casus 2<r'-»-3t/^=2«* est obvius; fit enim j/ = 0. Pro 



