.)YiM\yv\S\'.i Fragmevfd ex Advefsarits depromla. 211 



eodem casu fit «=14.9; unde alius H9(p*-H6), ideoque Ii9n— tt debel esse quadratuni; unde excluduntur: 



3a-+-1, ia, ka-\-\, 5a-4-l, 5a-i-2, 

 remanent pro n ergo 3a, 3a-+-2, etc. et in numeris 3, H, 15, 23, ubi ;)=2| satisfacit, scu n=3; 

 s=H9.3.1i9 = 3, unde iterum nascitur casus obvius. Omnes autem numeri primi pro 5, quibus formula 

 20"' -+- 3y' = «^* subsistere potest, continentur in his duabus formulis 24.n-i-5 et 24n-*-ll, quibus adjungi 

 debent 2 et 3 et praeterea nuUi alii satisfaciunl, ita, ut satisfacientes ordine sint-. 



2, 3, 5, 11, 29, 53, 59, 83, 101, 107, 131, 149, 173, 179, 197. . 



Aliud judictum, utrum talis aequatio fx*-i-gy*=:hz' iil possibilis. 



Dividantur omnia quadrata per numerum h et notentur residua, quae sint 1, a, b, c, d, etc. et quadratum 

 a?* det residuum a, y^ vero det b, sicque formula fx^-t-gy* dabit residuum af-k-bg, quod cum per h debeat 



^sse divisibile, fieri poterit af-k-bg=0, ideoque 6= -; ergo quodvis residuum si per — mulliplicetur, iterum 



erit residuum. Quia aulem — est fractus, ejus loco scribatur f ubi n ita sumatur, ut nh — f fiat divi- 



«ibile per g et quotus sit k, qui si inter residua reperiatur, aequatio erit possibilis; sin secus, impossibilis. 

 Sic proposita aequatione 2x^~t-3y^=29z^, ubi f=2, g = 3 et A = 29, quaerantur residua quadratorum per 

 29 divisorum, quae sunt numero li, nempe: 



1, 4, 9, 16, 25, 7, 20, 6, 23, 13, 5, 28, 24, 22. 

 Quaeratnr ergo — - — =9 posito n = l. Quia ergo 9 inter residua occurrit, haec forma est possibilis. Sin 



o 



autem proponatur 2x^-t-3y^=i7z^, quadrata per 17 divisa dant residua 



1, 4, 9, 16, 8, 2, 15, 13. 



{•jfi 2 



Nunc debet esse — - — = numero integro 5, qui cum non sit inter residua, indical aequationem esse impossibilem . 



o 



Hoc vero judicium non certum videlur, nam si aequatio hac forma exhibeatur 17^^^ — 2a;^= 3t/^, ubi /"=17, 



g=: — 2 et h=3, residuum quadratorum est imicum 1; at vero ' — ^ = 7, «i a=l, et denuo per 3 divi- 



dehdo prodit 1, quod est residuum, et tamen aequatio est impossibilis. , . , - . 



Notari meretur aequatio 7ar2-H2y'=23z*, quia ipse numerus 23 non in forma 7a''H-26'' continetur, siqui- 



1 10 207 



dem a ei b sint integri; at si = ^ et 6=—, fit utique —- = 23. Per regulam primam autem ex 23 prodit 



alius 23(j>*-i-14). Sumatur j) = 3 proditfjue unitas. 



{J. A. Euler.) 



Ut dubium circa criterium postremum tollatur, observandum est primum, criterium eo redire, num irler 



residua quadratorum per h divisorum occurrat numerus — fg, sive nk — fg, qui si non occurrat, aequalio 



fxx-¥-gyy = hzz certe est impossibilis ; sin autem occurrat, plus inde non sequitur, quam vel hanc ipsam aequa- 



tionem fxx-^gyy = hzz, vel istam xx-\-fgyy = hzz esse possibilem; unde fieri potest, ut prior non sit possi- 



bilis, lum autem certo posterior fit possibilis. iBibfiiip Jhsirt AA-«-^-t.H< i;ttiH!i<*i 



A. ni.T, I. p.'201-207. 



43. 



Jii fy {w. L. Krafft.) , rnol mw5 .wtst^ ilqnwxa 



pROBLEMA. Focmnlain mx^^n quadratum reddere ex casu cognito ina'-f-n=66. ^* '"o"— ** 



SoLUTio. Ponalur .r = a-i-T/ et formula proposita fiet OG 



bb -k- Zmaay -\- 3mayy -*- »«»/'= Q , 



