Fragmenta ex Adversariis depromta. 215 



Es sei femer f=85 = 5.17, «o wird ^ = 4.7 = 28, a;=35, y = 21j mithin die beiden Trigonalzahlen 

 35.18 und 11.21. E« ist aber « = 7.7.11=539, al«o 



—^ = 539.270 = 35.18.11 21. 



A. M. T. I. p. 254. 



^ OTMit . ^ ,,,1 : j; rr:3 ■ 



tnlfiinyfi (S 



48. 



{N. Fum /.) 



PRObLEMA. Invenire numeros integros x et y, ut fiat oarx — byy=.A. 



SoLLTio. Primo notandiim est hoc fieri non posse, nisi fuerit A = aff — bgg; deinde quaerantur per pro- 

 blema Pellianiim numeri m et n, ut fiat mm = abnn-h-i, sive m = V(a6»n-i-l). Cum ergo sit mwi — aZ>n» = l, 

 erit quoque {mm — abnn)^=l; ponere igitur licebit 



asx — byy =?= {aff — bgg) {mm — abnn) ^, t 



quae forma in factores irrationales resoluta dabit 



xVa -f- yVb = {fVa -+- gVb) (w -+- nVab)^, 

 quod posterius productum evolvatur et termini signo Va afTecti aequentur ipsi xVa-, reliqui terminr signo Vb 

 affecti aequenlur ipsi yVb, hocque modo tam x quam y per numeros integros delerminabitur, quod exemplo 

 illustremus: 



ExEMPLUM. Quaerantur numeri x et y, ut fiat Zxx — yy=2, ubi «=3 et 6=1; erit autem 2=^ff—gg 

 sumendo f=\ et g = z±i\; quia igitur a6 = 3, fiet m = V(3wn-i-l). Sum^ndo .n=i et m = 2, unde nostra 

 formula erit a: V3 -f- y = (V3 -f- 1 ) (2 h- V3)'^ 



^•" . si A = erit arV3-Hy= V3-*-l ili-M ».le«jR|r» 



X=\ « «V3-+-y= 3V3-t-5 

 A = 2 . arV3-f-i/= 11V3-I-19 



A = 3 « .«^3-4-1/= ilV3-f-71 tfnol oupiiiiip >-»fiil 1) 



A=4 « a;V3H-t/=153V3-f-265. 



Ceterum valores tam ipsius x quam ipsius i/ constituunt series recurrentes, quarum ultimus quisque terminu« 

 per 2m mulliplicatus dcinto peiinllimo, praebet «equentem; sic in nostro exemplo, ubi 2m = 4, litterac x et y 

 ita procedant a:=l, 3, 11, Vl, 153 



y=\, 5, 10, 71, 265. 

 Occasione problcmatis Pelliani, seu formiilae m = V(a6nn -f- I), praeter casiis, ubi est vel a6 = aadtl, vel 

 ab = au±2, etiam .sequentes ca.sus generaliores locum habent, scilicet si fucrit ab = aa(i^ dtz^, fiet nw=4aa 

 et n = 2a et m = 2aa3 ± 1 . Deinde si fuerit ab = aa^p ± 2/?, erit n = a et m = aa^ db 1 . 



A. m. T. I. p. 277. 

 i i«i'j !'»(( .uiifiHcil -,:4 = ^^tI = >: 



Phoblema. Invenire diios numeros p et </, ut fiat (pp -f- l)'-f- (^^-f- 1)*= D- 



SoLLTio. Ponatur ;>/) -f- 1 =xx — yy et «77-4- I = 2a7y eritque jjj^ =a-a: — yr/ — 1 et qq=2xy—i. Sitjam 

 p = x — z, erit 2jrx; — sc = yj/-i- 1 , unde fil 



